EM-09 · 静电场工具装备工具

梯度

梯度从标量场中把最陡上坡的方向和斜率提取成一个矢量。转动试探方向，看到它与梯度平行时上坡最陡，并确认电场指向相反方向（E = -∇V）。

寻找最陡的上坡

倾斜的平面是以高度表示电势的地形，亮青色的线是电势相等的等势线。用滑块转动试探箭头，指示器上就以相对最大值的百分比显示沿该方向前进时的上坡斜率。对准金色箭头时最陡，沿等势线前进时斜率消失。

测试方向 αα = 110°

拖动旋转，滑块改变试探方向 α。

此方向的爬升

∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

E = −∇V · 电场是梯度翻转到下坡

此方向的变化率（相对最大） · 22%

沿等高线 · 上坡 0

梯度，最陡上升

标量场给每一点一个数（EM-02·EM-08）。梯度 ∇V 指向这个数增长最快的方向，箭头的长度就是该方向的斜率大小。它用一个箭头表示山丘地形中最陡的上坡方向，于是一个标量场得出一个矢量场。

观察∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

梯度是汇集各轴方向变化率的矢量。

方向导数，用点积

沿某个方向 û 前进时电势变化的比率，叫作方向导数。它的值是梯度与该方向单位矢量的点积 ∇V·û，与 EM-05 中看到的点积原理相同。û 与 ∇V 平行时，夹角的 cos 为 1，取最大值；垂直时为 0。沿正相反方向走，就是最陡的下坡。所以沿等势线走，变化率为 0；正对梯度走，变化率最大，这个最大变化率的大小正是 |∇V|。

选择dV/ds = ∇V · ?

某个方向的变化率等于梯度与该方向单位矢量的点积。

填空(dV/ds)_max = ?

与梯度平行时变化率最大，其大小为 |∇V|。

与等位面垂直

变化率为 0 的方向就是等势线，所以梯度总是垂直于等势面（正如 EM-08 中所见）。这就像地形的等高线与最陡上坡成直角相交。所以一个梯度同时包含方向（等势面的法线）和大小（斜率）。

E = -∇V，从标量到矢量

电场指向电势下降最快的方向，所以与梯度正好相反。E = -∇V。负号把上坡翻成下坡。这一行就从标量场电势中完整地取出了矢量场电场。只要知道电势，就能通过微分得到电场的三个分量；反过来，沿路径对电场积分，又回到电势。

自己来E = ?

电场与电势梯度方向相反。

回到第一屏

在第一个画面里，转动试探箭头，上坡斜率随方向而不同。沿等势线时为 0，与梯度平行时最大。把这个最大方向和大小一起装进去的就是梯度 ∇V，方向导数 ∇V·û 用一个余弦表达了这一点。电场是把这个梯度翻成下坡的 E = -∇V，所以它总是垂直于等势面。

梯度 ∇V 从标量场 V 中把最陡上坡的方向和该斜率的大小提取成一个矢量。它的分量是各轴的偏导数 (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)。某个方向 û 的变化率是点积 ∇V·û，û 与 ∇V 平行时最大（=|∇V|）。梯度垂直于等势面，电场则是它的反向 E = -∇V。

装备工具装备这件工具后

梯度是从标量场中取出矢量场的工具。装备了这个工具，就能从电势直接得到电场 E = -∇V（回收 EM-08），在任何有势的问题中用微分求出场。它与散度 ∇·（EM-07）、旋度 ∇×（EM-16）一起构成纳布拉算子 ∇ 的三种用法，支撑着麦克斯韦方程组的微分形式。