EM-09 · 静电场工具装备工具
梯度
梯度从标量场中提取最陡上升方向及其陡度，合为一个矢量。旋转测试方向，看到与梯度对齐时爬升最陡，而电场指向相反(E = -∇V)。
寻找最陡的爬升
在倾斜的电位地形上旋转测试箭头。朝哪个方向爬升最陡？沿着等高线（等位线）走时坡度是多少？
测试方向 αα = 110°
拖动旋转。滑块旋转测试方向 α。
此方向的爬升
∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)
E = −∇V · 电场是梯度翻转到下坡
此方向的变化率（相对最大） · 22%
沿等高线 · 不爬升
梯度，最陡上升
标量场在每点给出一个数(EM-02、EM-08)。梯度 ∇V 指向这个数增长最快的方向，箭长就是该方向的陡度。在丘陵地形上，它是指向最陡上坡的那一支箭。一个标量场由此产生一个矢量场。
观察∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)
梯度是把各轴方向变化率汇集成的矢量。
方向导数，用点积
沿某方向 û 移动时电位变化的速率叫方向导数。其值是梯度与该方向的点积 ∇V·û（与 EM-05 的点积同理）。当 û 与 ∇V 对齐时余弦为 1，故最大；成直角时为零。所以沿等位线走变化率为零，正对梯度走则最大。这个最大值的大小正是 |∇V|。
选择dV/ds = ∇V · ?
某方向的变化率是梯度与单位矢量的点积。
填空(dV/ds)max = ?
与梯度对齐时变化率最大，其大小为 |∇V|。
与等位面垂直
因为变化率为零的方向是等位线，所以梯度总是垂直于等位面（正如 EM-08 所见）。这就像地形上等高线与最陡上坡成直角相交。所以梯度同时包含方向（等位面的法线）与大小（坡度）。
E = -∇V，从标量到矢量
电场指向电位下降最快的方向，恰好与梯度相反：E = -∇V。负号把上坡翻成下坡。这一行就把整个矢量场 E 从标量场 V 中提取出来。只要知道一个电位，就能用微分得到电场的三个分量；反过来，沿路径积分电场便回到电位。
自己来E = ?
电场是电位梯度的相反方向。
回到第一屏
在第一屏旋转测试箭头，爬升坡度因方向而异：沿等位线为零，与梯度对齐时最大。把那个最大方向与大小一并装下的就是梯度 ∇V，方向导数 ∇V·û 用余弦道出这一点。电场是把这个梯度翻成下坡的 E = -∇V，所以它总垂直于等位面。
梯度 ∇V 从标量场 V 中提取最陡上升方向与其陡度，合为一个矢量。其分量是各轴的偏导数 (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)。沿方向 û 的变化率是点积 ∇V·û，当 û 与 ∇V 对齐时最大(= |∇V|)。梯度垂直于等位面，电场是其相反 E = -∇V。
装备工具装备这件工具后
梯度是从标量场提取矢量场的工具。装备后，便能直接由电位 V 得到电场 E = -∇V（回收 EM-08），并在任何有势的问题中用微分求场。它与散度 ∇·(EM-07) 和旋度 ∇×(EM-16) 一起构成 nabla 算子 ∇ 的三种用法，支撑麦克斯韦方程组的微分形式。