EM-01 · 静电场工具装备工具

坐标系与微元

把空间切成什么形状的小块，决定了积分是容易还是困难。学会选出符合对称性的坐标系，并使用该坐标系的小块，也就是体积元。

选出恰好贴合空间小块的体积元

金色小块是从球体上切下的一部分空间。拖动它从各个角度转着看，把三种坐标系的小单元依次叠上去，能毫无缝隙地填满金色小块的只有一种。

拖动旋转，点选标签切换坐标系。

所选坐标系的微元

dV = dx · dy · dz

由三条直棱组成的盒子。三条棱都直接是坐标增量，所以没有标度因子。

不吻合

三条轴互相垂直，刻度间隔处处相同。所以体积元就是三条棱直接相乘，没有一条棱是弯的，标度因子都是 1。

观察dV = dx dy dz

直角坐标的三条棱直接相乘。

在柱坐标中，同样的角度 dφ，离轴越远，也就是 ρ 越大，扫过的距离越长。所以 φ 方向棱的长度不是 dφ，而是 ρ dφ。把角度变成长度的这个 ρ 就是标度因子，另外两条棱 dρ 和 dz 仍是直的。

观察dV = dρ ρ dφ dz

只有角度方向的棱乘上 ρ 变成长度。

选择dV = dρ (?) dz

只有角度方向的棱乘上 ρ 变成长度。

球坐标有两条弯棱。沿经线的棱是半径为 r 的圆上的弧，长度是 r dθ。沿纬线的棱是半径不是 r 而是 r sinθ 的小圆上的弧，所以是 r sinθ dφ；纬线圆越靠近两极越小。两个标度因子相乘得 r² sinθ，径向棱 dr 仍是直的。

选择dV = dr (?) ( ? )

经线弧的半径是 r，也就是球的半径本身。

填空dV = dr (r dθ) (?)

纬线弧的半径是 r sinθ，越靠近两极越小。

自己来dV = ? dr dθ dφ

把两个标度因子合起来，得 r² sinθ。

半径为 r 的球面上一小块的面积，也用同样的方法求。两段弧相乘，得 dA = r² sinθ dθ dφ。后面单元里要遇到的高斯定律面积分，正是把这些小块在整个球面上加起来。

毫无缝隙地填满金色小块的，是球坐标的体积元。它的三条棱（dr, r dθ, r sinθ dφ）与小块的对称性朝同样的方向伸展。直角坐标的盒子跟不上弯曲的表面，柱坐标的楔形上下两面是平的，与球面对不上。选择坐标系，归根结底就是让小块的形状符合问题的对称性。

体积元是三条棱长的乘积。直棱就是坐标增量本身，弯棱则要乘上标度因子变成弧长。直角 dV = dx dy dz，柱 dV = ρ dρ dφ dz，球 dV = r² sinθ dr dθ dφ。

装备工具装备这件工具后

坐标系和微元是一切场积分的把手。装备了这个工具，接下来的单元就迎刃而解。标量场与矢量场（EM-02）、电通量与散度（EM-05），以及高斯定律的面积分（EM-06），都在这里选出的小块上计算。