EM-01 · 静电场工具装备工具

坐标系与微元

如何切分空间，决定了积分的难易。学会挑选与对称性相符的坐标系微元。

为这块空间挑选合适的微元

拖动查看金色的空间块。哪个坐标系能无缝填满它？

拖动旋转，点击切换坐标系。

所选坐标系的微元

dV = dx · dy · dz

三条直边，没有比例因子。

不吻合

三个轴互相垂直，间距处处相同。微小体积就是三条边的简单乘积。没有弯曲的边，所以比例因子都是 1。

观察dV = dx dy dz

直角坐标的三条边直接相乘。

ρ 越大，同样的角度 dφ 扫过的距离就越长。所以 φ 方向边长是 ρ dφ，而不是 dφ。把角度换成长度的 ρ 就是比例因子。

观察dV = dρ ρ dφ dz

只有角度边带上 ρ 才成为长度。

选择dV = dρ (?) dz

只有角度边带上 ρ 才成为长度。

经线方向的边是半径为 r 的圆弧，所以是 r dθ。纬线方向的边走的是半径为 r sinθ（而非 r）的小圆，所以是 r sinθ dφ。两个比例因子相乘得到 r² sinθ。

选择dV = dr (?) ( ? )

经线弧的半径是 r。

填空dV = dr (r dθ) (?)

纬线弧的半径是 r sinθ。

自己来dV = ? dr dθ dφ

汇集两个比例因子：r² sinθ。

半径为 r 的球面上一小块的面积等于两条弧之积：dA = r² sinθ dθ dφ。后续单元里高斯定律的面积分，正是把这些小块加起来。

把金色空间块无缝填满的，是球坐标的微元。它的三条边(dr、r dθ、r sinθ dφ)沿着与该块对称性相同的方向生长。立方体跟不上曲面，柱坐标的楔形在上下面对不齐。选择坐标系，归根到底就是把微元的形状对齐到问题的对称性。

微小体积元是三个边长之积。直边就是坐标增量本身，而弯曲的边要乘上比例因子才成为弧长。直角 dV = dx dy dz，柱 dV = ρ dρ dφ dz，球 dV = r² sinθ dr dθ dφ。

装备工具装备这件工具后

坐标系与微元，是一切场积分的把手。装备这件工具后，后面的单元就解锁了：标量场与矢量场(EM-02)、电通量与散度(EM-05)，以及高斯定律的面积分(EM-06)，都发生在你在这里选定的微元之上。