EM-23 · 电磁波

波动方程与平面波

在空旷空间里把法拉第与安培–麦克斯韦两个旋度式啮合，便得出波动方程。其解是一列平面波：电场与磁场互相垂直、也垂直于传播方向，并以相同位相奔行。速度为 c = 1/√(μ₀ε₀)，即光速。

观察平面波奔行

一列在空旷空间奔行的电磁波。竖向摆动的电场（青）与横向摆动的磁场（金）相互垂直，并以同一拍子一起达到最大、一起归零。改变波长，波仍以同样的速度 c 前进。看这两个场为何同相。

波长 λλ = 2.5

拖动旋转。滑块设置波长 λ。

电磁波的速度与场

c = λf = 1/√(μ₀ε₀) · 波长不同速度相同

E ⊥ B ⊥ 传播方向 · E 与 B 同相

波长 λ 2.5 · 频率 f 0.44 · 速度 c = λ·f 1.10 (恒定)

空旷空间中的两个旋度式

考虑没有电荷也没有电流的空旷空间：ρ = 0, J = 0。于是只剩麦克斯韦方程的两个旋度式：法拉第 ∇×E = -∂B/∂t 与安培–麦克斯韦 ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t。变化的电场产生磁场，那变化的磁场又产生电场。二者相互供养。把这种啮合用式子解开，会得到什么？

波动方程出现

对一个旋度式再取一次旋度并代入另一式，便得到电场单独满足的方程：∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²。磁场也遵循同样的形式。这就是波动方程。它说场在空间中弯折的程度，与它在时间中变化的快慢成正比——正是扰动不滞留原地而向旁扩展的一切波所遵循的形式。水波与声音也遵循它。

观察∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²

两个旋度式产生波动方程。

速度即光速

在一切波动方程 ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t² 中，v 是该波的速度。与电磁波的方程相对照，得 1/v² = μ₀ε₀，即 v = 1/√(μ₀ε₀)。代入两个常数的测量值，便得出约 3×10⁸ m/s。麦克斯韦算出这个值时，它与早已知道的光速分毫不差。光速从仅由电与磁搭起的方程中跃出。光就是电磁波。

选择c = ?

其速度即光速。

平面波，横波且同相

波动方程最简单的解就是平面波：E = E₀ cos(kx - ωt)，一列沿单一方向前进的正弦波。磁场形式相同，大小为 B = E/c。三点要紧。其一，E 与 B 是横波，垂直于传播方向。其二，E 与 B 相互垂直。其三，二者同相，一起达到最大、一起归零，因为法拉第方程把一方的空间斜率绑在另一方的时间变化上。E × B 始终指向传播方向。

填空EB = ?

电场与磁场之比为 c。

自己来E = E₀ cos(?)

平面波是前进的正弦波。

回到第一屏

在第一屏，电场（竖）与磁场（横）相互垂直、且以同一拍子一起摆动。无论拉长还是缩短波长，波总以同样的速度前进。这正是波动方程所言。两个旋度式啮合成 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t²，其速度与波长无关，皆为 c = 1/√(μ₀ε₀)。E 与 B 同相，是因为法拉第方程把一方的空间斜率绑在另一方的时间变化上。那道光此刻正进入你的眼睛。

波动方程 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t² 由空旷空间中法拉第与安培–麦克斯韦两个旋度式啮合而得。其解平面波 E = E₀cos(kx - ωt) 是一列横波，电场与磁场互相垂直、也垂直于传播方向，二者同相一起摆动（B = E/c）。其速度与波长无关，皆为 c = 1/√(μ₀ε₀)，即光速。

接下来的路

在这列平面波中，E × B 不仅指向传播方向，也是能量的流动。下一节(EM-24)看度量这能量流的坡印廷矢量 S = E × B / μ₀，以及由电场摆动方向决定的偏振。我们进入光携带什么、如何振动。