波动方程与平面波

观察平面波奔行

这是从侧面看在真空中传播的电磁波。天蓝色线是上下振荡的电场，金色线是前后振荡的磁场，两者彼此垂直，并以同一节拍同时达到最大、同时变为 0。用滑块拉长或缩短波长，频率随之改变，两者之积始终不变，波前进的速度也保持不变。两个场为什么以相同相位运动，这就是本课要回答的问题。

空旷空间中的两个旋度式

在没有电荷也没有电流的空间，即 ρ = 0、J = 0 的地方，麦克斯韦方程组只剩下两个旋度方程：法拉第定律 ∇×E = -∂B/∂t 和安培–麦克斯韦定律 ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t。变化的电场产生磁场，这个磁场的变化又产生电场，两个场就这样相互接续。在没有源的地方，场能否这样自己延续下去，如果能，又以什么形状传播，把这种联立关系解出来就能确认。

波动方程出现

对一个旋度方程再取一次旋度，并代入另一个方程，就得到只含电场的方程 ∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²。磁场也服从完全相同的形式，这就是波动方程。它的意思是，场在空间中的弯曲程度与它在时间上的加速度成正比，描述的是扰动不停留在原处、而是保持形状向旁边移动的波。沿绷紧的弦传播的振动和空气中的声音也服从同样形式的方程，不同的只是振荡的是什么以及速度多大。

速度即光速

在波动方程 ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t² 中，v 是波的速度。与电磁波的方程对照，得到 1/v² = μ₀ε₀，即 v = 1/√(μ₀ε₀)。代入两个常数的测量值，约为 3×10⁸ m/s。麦克斯韦用当时的电学测量值算出这个值，发现它与另行测得的光速在测量误差范围内一致。仅由电和磁建立的方程中出现了光速，由此得出光是电磁波的结论。在真空中这一速度与波长无关，但在玻璃或水中，不同波长的速度略有差异，棱镜正是因此把白光分成各种颜色。

平面波，横波且同相

波动方程最简单的解是平面波 E = E₀ cos(kx - ωt)，即沿一个方向前进的正弦波。磁场也具有相同的形式，大小为 B = E/c。由此可以读出三点。第一，E 和 B 垂直于传播方向振荡，是横波。第二，E 和 B 彼此垂直。第三，两者相位相同，同时达到最大、同时变为 0，因为法拉第方程把一方的空间斜率与另一方的时间变化联系在一起。E × B 始终指向传播方向。图中把两个场画成同样长，但在国际单位制中 B 等于 E 除以 c，数值上要小得多；尽管如此，两个场携带的能量恰好各占一半。

回到第一屏

在第一屏，电场（上下）和磁场（前后）彼此垂直，并以同一节拍一起振荡。无论把波长拉长还是缩短，波总以同样的速度前进，这正是波动方程所说的。两个旋度方程联立成 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t²，在真空中其速度与波长无关，为 c = 1/√(μ₀ε₀)。E 与 B 相位相同，是因为法拉第方程把一方的空间斜率与另一方的时间变化联系在一起。此刻照亮这块屏幕的光，正是这种波。

在这个平面波中，E × B 不仅指向传播方向，也是能量流动的方向。下一课（EM-24）将看测量这一能流的坡印廷矢量 S = E × B / μ₀，并讨论由电场振荡方向决定的偏振。由此进入光携带什么、又如何振动的问题。