高斯定律

面增大，电通量不变

画成铁丝网的球，是包围点电荷的高斯面。用滑块增大这个面，面上的电场按 1/R² 减弱，而面的面积按 R² 增大，两者相乘的净电通量在指示器上保持不变。用按钮把电荷移到面外，净电通量就消失了。

高斯定律说什么

在 EM-05 中定义了闭合曲面的净通量 ∮E·dA。高斯定律说，这个值只与面内的电荷成正比，写成式子是 ∮E·dA = Q_enc/ε₀。比例常数是真空介电常数 ε₀。无论怎样取面，只要包围同样的电荷，得到的电通量就相同。

与面的形状、大小无关

把包围点电荷的球的半径增大到两倍，面上的电场减为 1/4，而面积变为 4 倍。两者相乘的电通量不变。凹陷的面或立方体也一样，只要包围同样的电荷，净电通量始终是 Q/ε₀。如果把电通量想象成穿出面的电场线条数，这个条数由电荷决定，与面的形状无关。

面外的电荷不计入

电荷在面外时，它的电场线从面的一侧进入，又从另一侧原样穿出。进来多少就出去多少，所以净电通量为 0。因此高斯定律只计算关在面内的电荷。面外的电荷再大，也不会给净电通量添上一分。不过面上各点的电场 E 本身会受到面外电荷的影响，所以对称性一旦被破坏，定律虽然成立，却不能直接求出 E。

有对称性时，无需积分求 E

对称性好时，高斯定律就成了捷径。在点电荷或均匀带电球的周围取一个同心的高斯球面，电场在面上大小处处相同且垂直于面，积分立刻化为 E·(4πr²)。由此得到 E = Q/(4πε₀r²)，这正是 EM-03 中的库仑电场。无限长直线就取圆柱面，无限大平面就取盒形的面，关键在于 EM-01 中练过的选取符合对称性的面。

回到第一屏

在第一个画面里，增大高斯面，净电通量纹丝不动。面上的电场按 1/R² 减弱多少，面积就按 R² 增大多少，两者恰好抵消。把电荷移到面外，电通量降为 0，说明进来的电场线全部又穿了出去。归根结底，决定闭合曲面净电通量的不是面的大小或形状，而只是关在面内的电荷。

高斯定律现在写成面积分，也就是积分形式。下一单元的散度定理（EM-07）把这个面积分变成体积分，导出在一点上成立的微分形式 ∇·E = ρ/ε₀。这就是麦克斯韦方程组的第一个方程。积分形式用于有对称性的问题，微分形式用于研究场的局部结构。