전자기학

직교·원통·구 좌표계의 미소 부피와 면적 요소. 굽은 모서리에 붙는 스케일 인자(ρ, r, r sinθ)를 직접 맞춰 본다.

장(場)은 공간의 모든 점에 값을 붙이는 함수다. 빈 점에서 숫자로, 다시 화살표로 채워 보며 스칼라장과 벡터장의 차이를 직접 본다.

전기장은 전하가 주변 공간에 만든 벡터장이다. 거리 슬라이더와 부호 토글로 1/r² 감쇠와 방향 반전을 직접 보고, 시험전하가 받는 힘 F = qE를 읽는다.

연속으로 퍼진 전하의 전기장은 점전하 조각 dq의 미소장 dE를 벡터로 적분한 것이다. 조각 수를 늘리며 합이 적분값으로 수렴하는 과정을 직접 본다.

선속은 전기장이 면을 통과하는 양이며 면에 수직인 성분만 센다(Φ=E·A=EA cosθ). 면을 기울여 cosθ 변화를 보고, 닫힌 면의 알짜 선속이 발산으로 이어짐을 본다.

닫힌 면을 통과하는 알짜 전기 선속은 그 안에 든 전하에만 비례한다(∮E·dA=Q/ε₀). 가우스 면을 키워도 불변임을, 전하가 밖이면 0임을 직접 보고, 대칭이면 적분 없이 E를 구한다.

닫힌 면의 알짜 선속은 속 발산의 부피적분과 같다(∮E·dA=∫∇·E dV). 영역을 셀로 나눠 이웃 면이 상쇄되고 경계만 남음을 보고, 가우스의 미분형 ∇·E=ρ/ε₀을 끄집어내는 도구를 장착한다.

전위 V는 단위 전하당 위치에너지인 스칼라장이다(V=kQ/r). 등전위면을 골라 V가 일정함을, 전기장이 그 면에 수직으로 높은 V에서 낮은 V로 향함(E=-∇V)을 직접 본다.

그래디언트 ∇V는 스칼라장에서 가장 가파른 오르막 방향과 기울기를 한 벡터로 뽑는다. 시험 방향을 돌려 방향도함수 ∇V·û가 정렬 시 최대임을 보고, 전기장 E=-∇V를 끄집어내는 도구를 장착한다.

유전체를 전기장에 넣으면 분자가 분극되어 표면 속박전하가 외부장과 반대 장을 만들고, 알짜 전기장이 ε_r배 약해진다(E=E₀/ε_r). ε_r를 키워 쌍극자 갈라짐과 장 약화를 직접 본다.

정전용량은 두 도체가 같은 전압에 담는 전하다(C=Q/V=εA/d). 극판 간격을 좁히고 유전체를 끼워, 용량이 기하와 물질로 정해지고 유전체가 ε_r배 키움을 직접 본다.

정전에너지는 전하가 아니라 전기장 자체에 담겨 있다. 에너지밀도 u=½εE²는 장의 제곱에 비례해 장이 센 곳에 몰리고, 전체는 U=∫u dV=½CV²다. 장을 세게 해 E² 증가를 직접 본다.

자기장은 전류가 만든다. 비오-사바르 법칙은 전류 요소가 만드는 미소 자기장 dB=(μ₀/4π)I dl×r̂/r²를 준다. 시험점을 돌려 dB가 전류·거리에 모두 수직이고 sinθ로 커짐을 보고, B=∫dB를 안다.

자기장의 순환 ∮B·dl은 고리를 지나는 전류에만 비례한다(∮B·dl=μ₀I_enc). 고리를 키워도 불변, 도선이 밖이면 0임을 직접 보고, 대칭이면 적분 없이 B=μ₀I/2πr를 구한다.

자기장은 움직이는 전하에 힘을 준다. F=qv×B는 속도·자기장에 모두 수직이고 크기는 qvB sinθ다. 각을 바꿔 sinθ 변화를 보고, 일을 하지 않아 전하가 원/나선을 그림을 안다.

고리 순환 ∮F·dl은 속 회전의 면적분과 같다(∮F·dl=∫(∇×F)·dA). 면을 셀로 나눠 이웃 변이 상쇄되고 경계 고리만 남음을 보고, 앙페르의 미분형 ∇×B=μ₀J를 끄집어내는 도구를 장착한다.

인덕턴스 L은 코일이 제 전류의 변화에 맞서는 자기 관성이다(L=NΦ/I). 전류 변화율을 키워 역기전력 ε=-L dI/dt이 커짐을 직접 보고, 저장 에너지 ½LI²를 안다.

자성체 속 원자 자석이 정렬되어(자화 M) 알짜 자기장이 μ_r배 커진다(B=μ_r B₀=μH). μ_r를 키워 모멘트 정렬과 장 강화를 직접 보고, 유전체가 전기장을 약화시킨 것과의 대비를 안다.

자기에너지는 전류가 아니라 자기장 자체에 담겨 있다. 에너지밀도 u=B²/2μ는 장의 제곱에 비례해 장이 센 곳에 몰리고, 전체는 U=∫u dV=½LI²다. 장을 세게 해 B² 증가를 직접 본다.

변하는 자기선속이 기전력을 만든다(ε=-dΦ/dt). 고리를 돌려 선속 Φ=BA cosθ와 기전력 ε∝sinθ가 90° 어긋남을, 정면일 때 선속 최대·기전력 0임을 직접 보고, 미분형 ∇×E=-∂B/∂t를 안다.

변하는 전기장이 자기장을 만든다(I_d=ε₀ dΦ_E/dt). 커패시터를 충전해 전하가 건너지 않는 극판 틈을 감싸고도 자기장이 도는 까닭을 보고, 보정된 앙페르 ∮B·dl=μ₀(I_c+I_d)와 미분형 ∇×B=μ₀J+μ₀ε₀∂E/∂t를 안다.

이미 배운 네 법칙을 한자리에 모은다. 가우스·자기 가우스·패러데이·앙페르–맥스웰을 단추로 하나씩 보며 두 발산(솟는 곳)과 두 회전(시간으로 묶는 고리)의 구조를, 닫힌 체계에서 전자기파 c=1/√(μ₀ε₀)=빛이 나옴을 본다.

빈 공간에서 패러데이와 앙페르–맥스웰을 맞물리면 파동방정식 ∇²E=μ₀ε₀∂²E/∂t²이 나온다. 달리는 평면파를 보며 E⊥B⊥진행방향(횡파)이고 둘이 같은 위상임을, 파장이 달라도 속력이 c=1/√(μ₀ε₀)=빛으로 불변임을 안다.

전자기파는 에너지를 진행 방향으로 실어 나르고, 그 흐름이 포인팅 벡터 S=E×B/μ₀다. 편파는 E가 출렁이는 방향. 편파각을 돌려도 B는 늘 E에 수직이라 에너지 흐름 S는 방향도 크기도 변하지 않음을, 세기 I=½ε₀cE₀²을 본다.

빛이 두 매질의 경계에서 반사(θ_r=θ₁)와 굴절(스넬의 법칙 n₁ sinθ₁=n₂ sinθ₂)로 갈라진다. 매질 속 빛이 v=c/n으로 느려지기 때문이다. 입사각을 키워 빽빽→성긴 매질에서 임계각(sinθ_c=n₂/n₁)을 넘으면 빛이 모두 되튀는 전반사를 본다.

선이 파장에 견줄 만큼 길면 전압·전류가 파동으로 달리고, 그 비가 특성 임피던스 Z₀=√(L/C)다. 부하 Z_L을 조절해 반사계수 Γ=(Z_L−Z₀)/(Z_L+Z₀)와 정재파를 보고, 정합(Z_L=Z₀)되면 Γ=0으로 반사가 사라지고 전력이 100% 전달됨을 본다.

복소 임피던스를 반사계수 원판 위 한 점으로 옮기는 도구. 정규화 z=r+jx를 Γ=(z−1)/(z+1)로 찍고, 저항 r·리액턴스 x를 조절해 점을 중심 정합점(z=1, Γ=0)에 올린다. 저항원·리액턴스호 격자, 선을 따라 도는 점(λ/2 한 바퀴)을 익힌다.

어긋난 부하를 Z₀처럼 보이게 해 반사를 0으로(Γ=0, SWR=1) 만들어 전력을 온전히 전달한다. λ/4 변성기 임피던스 Z₁을 맞춰 Z_in=Z₁²/Z_L=Z₀이 되는 값 Z₁=√(Z₀Z_L)을 찾고, 본선 정재파가 사라짐을 본다. 복소 부하는 스터브로 정합. EM 트랙의 종착.