컬과 스토크스 정리

고리와 속을 잇기

면을 작은 셀로 나눠 보라. 이웃한 두 셀이 맞댄 변에서는 한 셀의 순환이 옆 셀의 순환과 반대로 흘러 서로 상쇄된다. 끝까지 상쇄되지 않고 남는 것은 무엇인가.

고리와 속을 잇는 다리

앙페르 법칙(EM-14)은 닫힌 고리 둘레의 순환 ∮B·dl을 말한다. 스토크스 정리는 이 고리의 순환을, 고리가 두른 면 위 모든 점의 회전을 면적분한 것과 같다고 잇는다. ∮F·dl = ∫(∇×F)·dA. 회전 ∇×F는 장이 한 점에서 얼마나 소용돌이치는지를 재는 벡터다. 발산정리(EM-07)가 면과 부피를 이었다면, 스토크스 정리는 고리와 면을 잇는다.

왜 성립하나, 이웃 변의 상쇄

면을 작은 셀로 나누고 각 셀의 작은 순환을 모두 더해 보자. 두 셀이 맞댄 속 변에서는, 한 셀이 그 변을 한쪽으로 돌면 옆 셀은 같은 변을 반대쪽으로 돈다. 그래서 속 변의 기여는 짝지어 상쇄된다. 끝까지 짝이 없는 것은 바깥 경계의 변뿐이다. 그 결과 모든 셀의 회전을 더하면 경계 고리의 순환만 남는다. 한 셀의 작은 순환을 그 넓이로 나눈 것이 곧 회전 ∇×F다.

회전, 단위 넓이당 순환

셀을 한없이 작게 줄이면, 그 셀의 순환을 넓이로 나눈 값이 한 점의 회전 ∇×F다. 단위 넓이당 그 점에서 도는 양인 셈이다. 회전은 벡터로, 가장 세게 도는 평면의 법선 방향을 가리킨다(오른손). 물에 띄운 작은 바람개비가 한 점에서 얼마나, 어느 축으로 도는지를 재는 것과 같다. 발산이 솟음을 쟀다면, 회전은 소용돌이를 잰다.

앙페르의 미분형

스토크스 정리를 앙페르 법칙에 넣어 보자. 고리 순환 ∮B·dl은 μ₀I이고, 속은 ∫(∇×B)·dA다. 고리를 지나는 전류 I는 전류밀도를 면에 적분한 ∫J·dA다. 그러면 ∫(∇×B)·dA = ∫(μ₀J)·dA가 어떤 면에서나 성립하므로, 피적분함수가 같아야 한다. ∇×B = μ₀J. 적분형 한 줄이 점마다의 미분형으로 바뀐 것이다. 발산정리가 가우스 법칙의 미분형 ∇·E=ρ/ε₀를 준 것과 짝을 이루는, 또 하나의 맥스웰 방정식이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 면을 잘게 나눌수록 속에는 맞댄 변이 빼곡해졌지만, 그 변들은 모두 짝지어 상쇄됐다. 한 셀이 한쪽으로 돌면 이웃은 반대로 돌았기 때문이다. 끝까지 살아남은 것은 바깥 경계의 변뿐이었다. 그래서 모든 셀의 회전을 더한 면적분이 경계 고리의 순환과 정확히 같다. ∮F·dl = ∫(∇×F)·dA. 이 다리를 앙페르 법칙에 놓으면 미분형 ∇×B = μ₀J가 나온다.

스토크스 정리는 고리 적분과 면적분을 자유로이 오가는 도구다. 이 도구를 장착하면 앙페르 법칙의 미분형 ∇×B = μ₀J가 손에 들어오고, 발산정리(EM-07)의 ∇· 와 짝을 이뤄 나블라 연산자 ∇의 세 쓰임(∇, ∇·, ∇×)이 완성된다. 패러데이 법칙(EM-20)과 변위전류(EM-21)를 거쳐 맥스웰 방정식의 미분형 전체를 떠받친다.