선속과 발산

고리를 기울여 선속을 본다

고른 전기장의 장선이 한 방향으로 나란히 지나가고, 그 사이에 고리가 놓여 있다. 슬라이더로 고리를 기울이면 금색 법선이 장과 이루는 각이 달라지고, 장 방향으로 비춘 고리의 그림자인 하늘색 타원이 함께 줄어든다. 고리가 장을 정면으로 맞으면 지나가는 양이 가장 크고, 모서리로 세우면 0이 된다.

선속, 면을 통과하는 장

선속은 전기장이 어떤 면을 얼마나 지나가는지를 세는 양이다. 장을 물의 흐름에 견주면, 그물을 빠져나가는 물의 양에 해당한다. 고른 장 속에서 면을 장과 정면으로 마주 세우면 지나가는 양이 가장 크다.

수직 성분만 센다

면을 기울이면 지나가는 양이 cosθ만큼 줄어든다. 여기서 θ는 면의 법선과 장 사이의 각이다. 면이 장과 나란해지면(θ=90°) 장이 면을 스치기만 하고 지나가지 못해 선속은 0이다. 결국 선속은 장 벡터와 면 벡터의 내적이고, Φ = E·A = EA cosθ로 적는다. 면 벡터 A는 크기가 넓이이고 방향이 법선인 벡터이며, 그림의 하늘색 타원 넓이가 바로 장 쪽에서 본 유효 넓이이다.

휜 면, 변하는 장

면이 휘었거나 장이 곳곳마다 다르면, 면을 미소 조각 dA로 잘게 나누어 조각마다 선속 E·dA를 구해 더한다. 그것이 면적분 Φ = ∫E·dA다. EM-04에서 점전하의 장을 막대 위에서 적분했듯, 여기서는 장을 면 위에서 적분하다.

닫힌 면과 발산

면이 공간을 빙 둘러싸 닫히면, 나간 선속에서 들어온 선속을 뺀 것이 알짜 선속이고 ∮E·dA로 쓴다. 알짜 선속이 양수면 면 안에 장을 내뿜는 원천, 곧 양의 알짜 전하가 있고, 음수면 장을 빨아들이는 음의 알짜 전하가 있다. 알짜 선속이 없으면 안의 전하가 서로 상쇄되었거나 아예 없다. 이 알짜 선속을 감싼 부피로 나누고 부피를 한없이 작게 줄인 극한이 발산이며, 한 점에서 단위 부피당 솟아나는 장의 양을 뜻한다. 다음 유닛의 가우스 법칙이 바로 이 알짜 선속과 안에 갇힌 전하를 인다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 고리를 정면으로 맞췄을 때 선속이 가장 컸고, 모서리로 세우자 0이 되었다. 지나가는 양을 정한 것은 면의 법선과 장 사이 각의 코사인, 곧 내적이었고, 하늘색 그림자 타원의 넓이가 그 크기와 같았다. 면을 장 방향으로 비춘 만큼만 장이 면을 지나간 것이다. 휜 면이나 변하는 장에서는 이 내적을 면 위에서 적분하고, 닫힌 면에서는 알짜 선속이 안에 든 전하를 드러낸다.

닫힌 면의 알짜 선속은 안에 든 전하에 정비례한다. 다음 유닛의 가우스 법칙(EM-06)이 이것을 Φ = Q/ε₀로 못 박고, 발산정리(EM-07)가 면적분과 부피적분, 곧 적분형과 미분형을 잇는다. 대칭이 좋으면 이 법칙만으로 적분 없이 전기장을 얻을 수 있다.