선속과 발산

고리를 기울여 선속 보기

균일한 전기장 속에서 고리를 기울여 보라. 고리가 장을 정면으로 맞을 때 통과하는 양이 가장 크고, 모서리로 세우면 0이 된다. 통과량은 무엇으로 정해지나.

선속, 면을 통과하는 장

선속은 전기장이 어떤 면을 얼마나 통과하는가를 세는 양이다. 장을 물의 흐름에 빗대면, 그물을 통과하는 물의 양과 같다. 균일한 장에서 면을 장에 정면으로 놓으면 통과량이 가장 크다.

수직 성분만 센다

면을 기울이면 통과량이 cosθ로 준다. θ는 면의 법선과 장 사이 각이다. 면이 장과 나란해지면(θ=90°) 장이 면을 스칠 뿐 통과하지 못해 선속이 0이다. 그래서 선속은 장 벡터와 면 벡터의 내적이다. Φ = E·A = EA cosθ. 면 벡터 A는 크기가 넓이, 방향이 법선인 벡터다.

휜 면, 변하는 장

면이 휘거나 장이 곳마다 다르면, 면을 미소 조각 dA로 잘게 나눠 각 조각의 선속 E·dA를 더한다. 그것이 면적분 Φ = ∫E·dA다. EM-04에서 점전하 장을 적분했듯, 여기서는 장을 면 위에서 적분한다.

닫힌 면과 발산

면이 공간을 에워싸 닫히면, 들어온 선속과 나간 선속의 차이가 알짜 선속이다. ∮E·dA로 쓴다. 알짜 선속이 양수면 면 안에 장을 뿜는 원천(양전하)이, 음수면 빨아들이는 곳(음전하)이 있다. 이 알짜 선속을 부피로 나눠 한없이 작게 만든 것이 발산이다. 단위 부피당 솟아나는 장의 양인 셈이다. 다음 유닛의 가우스 법칙이 바로 이 알짜 선속과 갇힌 전하를 잇는다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 고리를 정면으로 맞췄을 때 선속이 가장 컸고, 모서리로 세우자 0이 됐다. 통과량을 정한 것은 면의 법선과 장 사이 각의 코사인, 곧 내적이었다. 면 벡터 A를 장 E에 정사영한 만큼만 장이 면을 통과한 것이다. 휜 면이나 변하는 장에서는 이 내적을 면 위에서 적분하고, 닫힌 면에서는 알짜 선속이 안에 든 전하를 드러낸다.

닫힌 면의 알짜 선속은 안에 든 전하에 정비례한다. 다음 유닛의 가우스 법칙(EM-06)이 이를 Φ = Q/ε₀로 못 박고, 발산정리(EM-07)가 면적분과 부피적분, 곧 적분형과 미분형을 잇는다. 대칭이 좋으면 이 법칙으로 적분 없이 전기장을 얻는다.