그래디언트

가장 가파른 오르막을 찾는다

비스듬히 기운 평면은 높이가 전위를 나타내는 지형이고, 밝은 하늘색 선은 전위가 같은 등전위선이다. 슬라이더로 시험 화살표를 돌리면 그 방향으로 갈 때의 오르막 기울기가 표시기에 최대 대비 백분율로 나온다. 금색 화살표 쪽으로 맞출 때 가장 가파르고, 등전위선을 따라가면 기울기가 사라져요.

그래디언트, 가장 가파른 오르막

스칼라장은 각 점에 숫자 하나를 준다(EM-02·EM-08). 그래디언트 ∇V는 그 숫자가 가장 빨리 커지는 방향을 가리키고, 화살표의 길이는 그 방향의 기울기 크기다. 언덕 지형에서 가장 가파르게 오르는 쪽을 화살표 하나로 나타낸 것이라, 스칼라장 하나에서 벡터장 하나가 나와요.

방향도함수, 내적으로

어떤 방향 û로 갈 때 전위가 변하는 비율을 방향도함수라 한다. 그 값은 그래디언트와 그 방향 단위벡터의 내적 ∇V·û이고, EM-05에서 본 내적과 같은 원리다. û가 ∇V와 나란하면 사이각의 cos이 1이어서 최대이고, 직각이면 0이다. 정반대로 가면 가장 가파른 내리막이 된다. 그래서 등전위선을 따라가면 변화율이 0, 그래디언트를 정면으로 따라가면 최대이며, 그 최대 변화율의 크기가 바로 |∇V|예요.

등전위면과 직각

변화율이 0인 방향이 등전위선이므로 그래디언트는 늘 등전위면에 수직이다(EM-08에서 본 그대로). 지형의 등고선과 가장 가파른 오르막이 직각으로 만나는 것과 같다. 그래서 그래디언트 하나에 방향, 곧 등전위면의 법선과 크기, 곧 기울기가 함께 담겨요.

E = -∇V, 스칼라에서 벡터로

전기장은 전위가 가장 빨리 줄어드는 쪽을 가리키므로 그래디언트와 정반대다. E = -∇V. 음의 부호가 오르막을 내리막으로 뒤집는다. 이 한 줄이 스칼라장인 전위에서 벡터장인 전기장을 통째로 끌어낸다. 전위 하나만 알면 전기장의 세 성분을 미분으로 얻는 셈이고, 반대로 전기장을 경로를 따라 적분하면 전위로 돌아가요.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 시험 화살표를 돌리자 오르막 기울기가 방향마다 달랐다. 등전위선을 따라갈 때는 0이었고, 그래디언트와 나란할 때 가장 컸다. 그 최대 방향과 크기를 함께 담은 것이 그래디언트 ∇V이고, 방향도함수 ∇V·û는 그 사실을 코사인 하나로 적는다. 전기장은 이 그래디언트를 내리막으로 뒤집은 E = -∇V이므로, 늘 등전위면에 수직이었어요.

그래디언트는 스칼라장에서 벡터장을 뽑아내는 도구다. 이 도구를 갖추면 전위에서 전기장 E = -∇V를 곧바로 얻고(EM-08 회수), 퍼텐셜이 있는 모든 문제에서 장을 미분으로 구한다. 발산 ∇·(EM-07), 회전 ∇×(EM-16)와 함께 나블라 연산자 ∇의 세 가지 쓰임을 이루고, 맥스웰 방정식의 미분형을 떠받쳐요.