EM-09 · 정전계 도구도구 장착

그래디언트

그래디언트는 스칼라장에서 가장 가파른 오르막 방향과 그 기울기를 한 벡터로 뽑아낸다. 시험 방향을 돌려 그래디언트와 나란할 때 오르막이 가장 가파름을 보고, 전기장이 그 반대 방향임을 안다(E = -∇V).

가장 가파른 오르막 찾기

기울어진 전위 지형 위에서 시험 화살표를 돌려 보라. 어느 방향으로 갈 때 가장 가파르게 오르나. 등고선(등전위선)을 따라가면 기울기는 얼마인가.

시험 방향 αα = 110°

드래그로 회전. 슬라이더로 시험 방향 α.

이 방향의 오르막

∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

E = −∇V · 전기장은 그래디언트의 반대(내리막)

이 방향의 변화율 (최대 대비) · 22%

등고선 따라 · 오르막 0

그래디언트, 가장 가파른 오르막

스칼라장은 각 점에 숫자 하나를 준다(EM-02·EM-08). 그래디언트 ∇V는 그 숫자가 가장 빨리 커지는 방향을 가리키고, 화살표의 길이는 그 방향의 기울기 크기다. 언덕 지형에서 가장 가파르게 오르는 쪽을 한 화살표로 나타낸 것이다. 스칼라장 하나에서 벡터장 하나가 나온다.

관찰∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

그래디언트는 각 축 방향 변화율을 모은 벡터다.

방향도함수, 내적으로

어떤 방향 û로 갈 때 전위가 변하는 비율을 방향도함수라 한다. 그 값은 그래디언트와 그 방향의 내적, ∇V·û다(EM-05의 내적과 같은 원리). û가 ∇V와 나란하면 cos이 1이라 최대고, 직각이면 0이다. 그래서 등전위선을 따라가면 변화율이 0, 그래디언트를 정면으로 따라가면 최대다. 그 최대 변화율의 크기가 바로 |∇V|다.

고르기dV/ds = ∇V · ?

한 방향의 변화율은 그래디언트와 단위벡터의 내적이다.

빈칸(dV/ds)_max = ?

그래디언트와 나란할 때 변화율이 최대, 그 크기가 |∇V|다.

등전위면과 직각

변화율이 0인 방향이 등전위선이므로, 그래디언트는 늘 등전위면에 수직이다(EM-08에서 본 그대로). 지형의 등고선과 가장 가파른 오르막이 직각으로 만나는 것과 같다. 그래서 그래디언트는 방향(등전위면의 법선)과 크기(기울기)를 한꺼번에 담는다.

E = -∇V, 스칼라에서 벡터로

전기장은 전위가 가장 빨리 줄어드는 쪽을 가리키므로, 그래디언트의 정반대다. E = -∇V. 음의 부호가 오르막을 내리막으로 뒤집는다. 이 한 줄이 스칼라장 V에서 벡터장 E를 통째로 끄집어낸다. 전위 하나만 알면 전기장 세 성분을 미분으로 얻는 셈이다. 반대로 전기장을 경로 따라 적분하면 전위로 돌아간다.

스스로E = ?

전기장은 전위 그래디언트의 반대 방향이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 시험 화살표를 돌리자 오르막 기울기가 방향마다 달랐다. 등전위선을 따라갈 때는 0이었고, 그래디언트와 나란할 때 가장 컸다. 그 최대 방향과 크기를 한꺼번에 담은 것이 그래디언트 ∇V다. 방향도함수 ∇V·û가 그 사실을 코사인으로 말해 준다. 전기장은 이 그래디언트를 내리막으로 뒤집은 E = -∇V이고, 그래서 늘 등전위면에 수직이었다.

그래디언트 ∇V는 스칼라장 V에서 가장 가파른 오르막 방향과 그 기울기 크기를 한 벡터로 뽑아낸다. 성분은 각 축의 편미분 (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)다. 어떤 방향 û의 변화율은 내적 ∇V·û이고, û가 ∇V와 나란할 때 최대(=|∇V|)다. 그래디언트는 등전위면에 수직이며, 전기장은 그 반대인 E = -∇V다.

도구 장착이 도구를 장착하면

그래디언트는 스칼라장에서 벡터장을 뽑아내는 도구다. 이 도구를 장착하면 전위 V에서 전기장 E = -∇V를 곧장 얻고(EM-08 회수), 퍼텐셜이 있는 모든 문제에서 장을 미분으로 구한다. 발산 ∇·(EM-07)과 회전 ∇×(EM-16)와 함께 나블라 연산자 ∇의 세 가지 쓰임을 이루며, 맥스웰 방정식의 미분형을 떠받친다.