파동방정식과 평면파

평면파가 달리는 모습 보기

빈 공간을 달리는 전자기파다. 세로로 출렁이는 전기장(시안)과 가로로 출렁이는 자기장(골드)이 서로 수직으로, 그리고 같은 박자로 함께 최대가 되고 함께 0이 된다. 파장을 바꿔도 파동은 늘 같은 속력 c로 나아간다. 두 장이 왜 같은 위상인지 보라.

빈 공간의 두 회전식

전하도 전류도 없는 빈 공간을 생각하자. ρ = 0, J = 0이다. 그러면 맥스웰 방정식의 두 회전식만 남는다. 패러데이 ∇×E = -∂B/∂t와 앙페르–맥스웰 ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t다. 변하는 전기장이 자기장을, 그 변하는 자기장이 다시 전기장을 만든다. 둘은 서로를 먹여 살린다. 이 맞물림을 수식으로 풀면 무엇이 나올까.

파동방정식이 나온다

한 회전식에 다시 회전을 취하고 다른 식을 대입하면, 전기장 홀로 만족하는 식이 된다. ∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²다. 자기장도 똑같은 꼴을 따른다. 이것이 파동방정식이다. 공간에서 두 번 휜 정도가 시간에서 두 번 변한 정도에 비례한다는 뜻으로, 출렁임이 제자리에 머물지 않고 옆으로 퍼져 나가는 모든 파동이 따르는 형태다. 물결도 소리도 이 꼴을 따른다.

속력은 빛의 속력

모든 파동방정식 ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t²에서 v는 그 파동의 속력이다. 전자기파의 식과 맞대 보면 1/v² = μ₀ε₀, 곧 v = 1/√(μ₀ε₀)다. 여기에 두 상수의 측정값을 넣으면 약 3×10⁸ m/s가 나온다. 맥스웰이 이 값을 계산했을 때, 그것은 이미 알려져 있던 빛의 속력과 정확히 같았다. 전기와 자기만으로 쌓은 식에서 빛의 속력이 튀어나온 것이다. 빛은 전자기파였다.

평면파, 횡파이며 같은 위상

파동방정식의 가장 간단한 풀이가 평면파다. E = E₀ cos(kx - ωt)로, 한 방향으로 나아가는 정현파다. 자기장도 같은 꼴이며 크기는 B = E/c다. 세 가지가 중요하다. 첫째, E와 B는 진행 방향에 수직인 횡파다. 둘째, E와 B는 서로 수직이다. 셋째, 둘은 같은 위상이라 함께 최대가 되고 함께 0이 된다. 패러데이 식이 한쪽의 공간 기울기를 다른 쪽의 시간 변화에 묶기 때문이다. E × B는 늘 진행 방향을 가리킨다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 전기장(세로)과 자기장(가로)은 서로 수직으로, 그리고 같은 박자로 함께 출렁였다. 파장을 늘이고 줄여도 파동은 늘 같은 속력으로 나아갔다. 이것이 파동방정식이 말하는 바다. 두 회전식이 맞물려 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t²를 이루고, 그 속력은 파장과 무관하게 c = 1/√(μ₀ε₀)다. E와 B가 같은 위상인 까닭은 패러데이 식이 한쪽의 공간 기울기를 다른 쪽의 시간 변화에 묶기 때문이다. 그 빛이 지금 네 눈에 들어오고 있다.

이 평면파에서 E × B는 진행 방향을 가리킬 뿐 아니라 에너지의 흐름이기도 하다. 다음(EM-24)은 그 에너지 흐름을 재는 포인팅 벡터 S = E × B / μ₀를 보고, 전기장이 어느 방향으로 출렁이는지가 정하는 편파를 다룬다. 빛이 무엇을 실어 나르고 어떻게 진동하는지로 들어간다.