EM-23 · 전자기파

파동방정식과 평면파

빈 공간에서 패러데이 법칙과 앙페르–맥스웰 법칙, 두 회전 식을 맞물리면 파동방정식이 나온다. 그 풀이는 전기장과 자기장이 서로 수직이고 진행 방향과도 수직인 채 같은 위상으로 달리는 평면파이고, 속력은 c = 1/√(μ₀ε₀), 곧 빛의 속력이라는 것을 확인해요.

평면파가 달리는 모습 보기

빈 공간을 달리는 전자기파를 옆에서 본 그림이다. 하늘색 선이 위아래로 출렁이는 전기장, 금색 선이 앞뒤로 출렁이는 자기장이고, 두 장은 서로 수직이면서 같은 박자로 함께 최대가 되고 함께 0이 된다. 슬라이더로 파장을 늘이거나 줄이면 진동수가 그만큼 바뀌어 둘의 곱은 늘 같고, 파동이 나아가는 속력도 그대로예요. 두 장이 왜 같은 위상으로 움직이는지가 이 강의 질문이다.

파장 λλ = 2.5

끌면 시점이 돌고, 슬라이더로 파장 λ를 바꾼다.

전자기파의 속력과 장

c = λf = 1/√(μ₀ε₀) · 파장이 달라도 속력은 같다

E ⊥ B ⊥ 진행방향 · E와 B는 같은 위상

파장 λ 2.5 · 진동수 f 0.44 · 속력 c = λ·f 1.10 (일정)

빈 공간의 두 회전식

전하도 전류도 없는 빈 공간, 곧 ρ = 0, J = 0인 곳에서는 맥스웰 방정식의 두 회전 식만 남는다. 패러데이 법칙 ∇×E = -∂B/∂t와 앙페르–맥스웰 법칙 ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t다. 변하는 전기장이 자기장을 만들고, 그 자기장이 변하면서 다시 전기장을 만드니 두 장은 서로를 이어 가는 사이예요. 소스가 없는 곳에서도 장이 이렇게 스스로 이어질 수 있는지, 이어진다면 어떤 모양으로 퍼지는지를 이 맞물림을 풀어 확인한다.

파동방정식이 나온다

한 회전 식에 회전을 한 번 더 취하고 다른 식을 대입하면, 전기장 하나만으로 이루어진 식 ∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²가 나온다. 자기장도 똑같은 꼴을 따르고, 이것이 파동방정식이다. 장이 공간에서 휜 정도가 시간에 대한 가속도에 비례한다는 뜻으로, 출렁임이 제자리에 머물지 않고 모양을 지닌 채 옆으로 옮겨 가는 파동의 식이에요. 팽팽한 줄을 따라가는 진동이나 공기 속의 소리도 같은 꼴의 식을 따르며, 다른 점은 무엇이 출렁이느냐와 그 속력뿐이다.

관찰∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²

두 회전 식을 맞물리면 파동방정식이 나와요.

속력은 빛의 속력

파동방정식 ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t²에서 v는 그 파동의 속력이다. 전자기파의 식과 맞대 보면 1/v² = μ₀ε₀, 곧 v = 1/√(μ₀ε₀)다. 여기에 두 상수의 측정값을 넣으면 약 3×10⁸ m/s가 나온다. 맥스웰이 당시의 전기 측정값으로 이 값을 계산하자, 따로 재 두었던 빛의 속력과 측정 오차 안에서 맞아떨어졌다. 전기와 자기만으로 쌓은 식에서 빛의 속력이 나온 것이고, 그래서 빛은 전자기파라는 결론에 이르렀어요. 진공에서는 이 속력이 파장과 상관없이 같지만, 유리나 물 속에서는 파장마다 속력이 조금씩 달라 프리즘이 흰빛을 여러 색으로 나눈다.

고르기c = ?

그 속력은 빛의 속력이다.

평면파, 횡파이며 같은 위상

파동방정식의 가장 간단한 풀이가 평면파 E = E₀ cos(kx - ωt)로, 한 방향으로 나아가는 정현파다. 자기장도 같은 꼴이고 크기는 B = E/c다. 여기서 세 가지를 읽을 수 있다. 첫째, E와 B는 진행 방향에 수직으로 출렁이는 횡파다. 둘째, E와 B는 서로 수직이다. 셋째, 둘은 같은 위상이라 함께 최대가 되고 함께 0이 되는데, 패러데이 식이 한쪽의 공간 기울기를 다른 쪽의 시간 변화에 묶기 때문이에요. E × B는 늘 진행 방향을 가리킨다. 그림에서는 두 장을 같은 길이로 그렸지만 국제단위계로 재면 B는 E를 c로 나눈 값이라 숫자로는 훨씬 작고, 그래도 두 장이 실어 나르는 에너지는 정확히 반씩이다.

빈칸EB = ?

전기장과 자기장의 크기 비는 c다.

스스로E = E₀ cos(?)

평면파는 한 방향으로 나아가는 정현파예요.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 전기장(위아래)과 자기장(앞뒤)은 서로 수직으로, 그리고 같은 박자로 함께 출렁였다. 파장을 늘이고 줄여도 파동은 늘 같은 속력으로 나아갔는데, 이것이 파동방정식이 말하는 바다. 두 회전 식이 맞물려 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t²를 이루고, 진공에서 그 속력은 파장과 상관없이 c = 1/√(μ₀ε₀)예요. E와 B가 같은 위상인 까닭은 패러데이 식이 한쪽의 공간 기울기를 다른 쪽의 시간 변화에 묶기 때문이다. 지금 이 화면을 비추는 빛도 바로 이 파동이다.

파동방정식 ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t²은 빈 공간에서 패러데이 법칙과 앙페르–맥스웰 법칙, 두 회전 식을 맞물려 얻는다. 그 풀이인 평면파 E = E₀cos(kx - ωt)는 전기장과 자기장이 서로 수직이고 진행 방향과도 수직인 횡파로, 둘은 같은 위상으로 함께 출렁인다(B = E/c). 진공에서 속력은 파장과 상관없이 c = 1/√(μ₀ε₀), 곧 빛의 속력이다.

이어지는 길

이 평면파에서 E × B는 진행 방향을 가리킬 뿐 아니라 에너지가 흐르는 방향이기도 하다. 다음 강(EM-24)에서는 그 에너지 흐름을 재는 포인팅 벡터 S = E × B / μ₀를 보고, 전기장이 어느 방향으로 출렁이는지가 정하는 편파를 다룬다. 빛이 무엇을 실어 나르고 어떻게 진동하는지로 들어가요.