발산정리

겉과 속을 잇는다

금색 정육면체가 닫힌 면이고, 하늘색 선이 그 안을 작은 셀로 나눈 격자다. 버튼으로 분할을 늘리면 셀 사이에 맞댄 면이 많아지는데, 그런 면에서는 한쪽이 내보낸 만큼 다른 쪽이 받아들여 회색 화살표 한 쌍처럼 서로 상쇄된다. 끝까지 살아남는 것은 바깥 면으로 나가는 금색 화살표뿐이에요.

겉과 속을 잇는 다리

가우스 법칙은 닫힌 면, 곧 겉에서 잰 선속을 말한다. 발산정리는 이 겉의 선속이 속 모든 점의 발산을 부피 전체에 걸쳐 더한 값과 같다고 둘을 잇는다. ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. 면에서 잰 양과 부피 속에서 잰 양이 같다는 이 다리는 전기장에만 해당하는 물리 법칙이 아니라, 매끄러운 벡터장이면 어디에나 성립하는 수학 정리예요.

왜 성립하나, 이웃 면의 상쇄

영역을 작은 셀로 나누고 셀마다 알짜 선속을 구해 모두 더해 보자. 두 셀이 맞댄 속 면에서는 한 셀이 내보낸 흐름이 곧 옆 셀로 들어가는 흐름이라 두 값의 부호가 반대다. 그래서 속 면들은 짝을 지어 상쇄되고, 끝까지 짝이 없는 것은 바깥 경계의 면뿐이다. 결국 모든 셀의 선속을 더하면 겉 경계의 선속만 남아요.

발산, 단위 부피당 솟음

셀을 한없이 작게 줄이면, 그 셀의 알짜 선속을 부피로 나눈 값이 한 점의 발산 ∇·E가 된다. 단위 부피당 그 점에서 솟아나는 장의 양이다. 발산이 양수인 점에는 장을 뿜는 원천(양전하)이, 음수인 점에는 장을 빨아들이는 곳(음전하)이 있다. 발산정리는 이렇게 점마다 솟아나는 양을 부피 전체에서 모은 것이 겉의 선속이라고 말해요.

가우스의 미분형

발산정리를 가우스 법칙에 넣어 보자. 겉 선속 ∮E·dA은 Q/ε₀이고, 속은 ∫(∇·E)dV다. 갇힌 전하 Q는 전하밀도를 부피에 걸쳐 적분한 ∫ρ dV다. 그러면 ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV가 어떤 부피를 잡아도 성립하므로 두 피적분함수가 같아야 한다. ∇·E = ρ/ε₀. 적분형 한 줄이 점마다 성립하는 미분형으로 바뀐 것이고, 이것이 맥스웰 방정식의 첫 번째예요.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 영역을 잘게 나눌수록 속에는 맞댄 면이 빼곡해졌지만, 그 면들은 모두 짝지어 상쇄되었다. 끝까지 살아남은 것은 바깥 경계의 면뿐이었다. 그래서 모든 셀의 발산을 더한 부피적분이 겉의 면적분과 정확히 같다. ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. 이 다리를 가우스 법칙 위에 놓으면 미분형 ∇·E = ρ/ε₀가 나와요.

발산정리는 면적분과 부피적분 사이를 자유롭게 오가게 해 주는 도구다. 이 도구를 갖추면 가우스 법칙의 미분형 ∇·E = ρ/ε₀(맥스웰 1·EM-22)을 손에 넣고, 닫힌 고리를 도는 짝 정리인 스토크스 정리(EM-16)와 한 쌍을 이룬다. 적분형은 대칭이 있는 문제에, 미분형은 장의 국소 구조와 맥스웰 방정식에 쓰여요.