발산정리

겉과 속을 잇기

영역을 작은 셀로 나눠 보라. 이웃한 두 셀이 맞댄 면에서는 한쪽이 내보낸 만큼 다른 쪽이 받아들여 서로 상쇄된다. 끝까지 상쇄되지 않고 남는 것은 무엇인가.

겉과 속을 잇는 다리

가우스 법칙은 닫힌 면의 선속(겉)을 말한다. 발산정리는 이 겉의 선속을, 속 모든 점의 발산을 부피에 걸쳐 더한 것과 같다고 잇는다. ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. 면에서 잰 양과 부피 속에서 잰 양이 같다는 다리다.

왜 성립하나, 이웃 면의 상쇄

영역을 작은 셀로 나누고 각 셀의 알짜 선속을 모두 더해 보자. 두 셀이 맞댄 속 면에서는, 한 셀이 내보낸 흐름이 곧 옆 셀로 들어가는 흐름이라 부호가 반대다. 그래서 속 면들은 짝지어 상쇄된다. 끝까지 짝이 없는 것은 바깥 경계의 면뿐이다. 그 결과 모든 셀의 발산을 더하면 겉 경계의 선속만 남는다.

발산, 단위 부피당 솟음

셀을 한없이 작게 줄이면, 그 셀의 알짜 선속을 부피로 나눈 값이 한 점의 발산 ∇·E다. 단위 부피당 그 점에서 솟아나는 장의 양이다. 발산이 양수인 점은 장을 뿜는 원천(양전하), 음수인 점은 빨아들이는 곳(음전하)이다. 발산정리는 이 점마다의 솟음을 부피에 걸쳐 모은 것이 겉 선속이라고 말한다.

가우스의 미분형

발산정리를 가우스 법칙에 넣어 보자. 겉 선속 ∮E·dA은 Q/ε₀이고, 속은 ∫(∇·E)dV다. 갇힌 전하 Q는 전하밀도를 부피에 적분한 ∫ρ dV다. 그러면 ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV가 어떤 부피에서나 성립하므로, 피적분함수가 같아야 한다. ∇·E = ρ/ε₀. 적분형 한 줄이 점마다의 미분형으로 바뀐 것이다. 이것이 맥스웰 방정식의 첫 번째다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 영역을 잘게 나눌수록 속에는 맞댄 면이 빼곡해졌지만, 그 면들은 모두 짝지어 상쇄됐다. 끝까지 살아남은 것은 바깥 경계의 면뿐이었다. 그래서 모든 셀의 발산을 더한 부피적분이 겉 면적분과 정확히 같다. ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. 이 다리를 가우스 법칙에 놓으면 미분형 ∇·E = ρ/ε₀가 나온다.

발산정리는 면적분과 부피적분을 자유로이 오가는 도구다. 이 도구를 장착하면 가우스 법칙의 미분형 ∇·E = ρ/ε₀(맥스웰 1·EM-22)이 손에 들어오고, 회로를 도는 짝 정리인 스토크스 정리(EM-16)와 한 쌍을 이룬다. 적분형은 대칭 문제에, 미분형은 장의 국소 구조와 맥스웰 방정식에 쓰인다.