전위와 등전위면

등전위 껍질을 골라 V 값을 읽는다

가운데 금색 점이 점전하이고, 둘레의 흐린 구들이 등전위 껍질이다. 슬라이더로 껍질 하나를 고르면 그 껍질이 밝아지고, 표시기에 그 위의 전위가 나온다. 같은 껍질 위에서는 어디서나 전위가 같고, 껍질을 바깥으로 옮길수록 전위가 낮아져요. 화살표로 그린 전기장이 껍질을 어떤 각도로 지나는지도 함께 보여요.

전위, 단위 전하당 에너지

전기장 속에서 전하를 옮기려면 일이 든다. 전위는 그 일을 전하량으로 나눈 값, 곧 단위 전하당 위치에너지이고 단위는 볼트(V)다. 보통 무한히 먼 곳을 기준(V=0)으로 잡는다. 양의 점전하 둘레에서는 V = kQ/r이어서 가까울수록 높고 멀어질수록 0에 다가간다. 음의 점전하라면 부호가 반대여서 가까울수록 더 낮아요. 전위는 크기만 있는 스칼라장이에요(EM-02).

등전위면, V가 같은 면

전위가 같은 점들을 이으면 등전위면이 된다. 점전하 둘레에서는 같은 거리에 있는 점들, 곧 같은 중심을 가진 구면이다. 같은 등전위면 위에서는 어디로 움직여도 전위가 변하지 않으므로 전기장이 하는 일이 없다. 등산 지도의 등고선과 같아서, 같은 높이를 따라 걸으면 오르내림이 없어요.

E는 등전위면에 수직, 내리막

전기장은 늘 등전위면을 수직으로 가로지른다. 비스듬했다면 면을 따라가는 성분이 생겨, 그 성분을 거슬러 면 위로 전하를 옮길 때 일이 들고 전위가 달라진다. 등전위면이라는 정의와 어긋나므로 E는 정확히 수직이다. 방향은 전위가 가장 빨리 줄어드는 쪽, 곧 높은 전위에서 낮은 전위로 내려가는 쪽이다. 등고선에 직각으로 굴러 내려가는 공을 떠올리면 돼요.

V는 1/r, E는 1/r²

점전하에서 전위는 1/r로, 전기장은 1/r²로 줄어든다. 전기장 쪽이 더 빨리 약해지는 셈인데, 우연이 아니다. 전기장은 전위가 거리에 따라 변하는 비율, 곧 기울기이기 때문이다. 어느 방향으로 전위가 가파르게 떨어질수록 그쪽 전기장이 세다. 그래서 같은 전위 차이로 그린 등전위면은 전하 가까이에서 촘촘하고 멀어질수록 성기다. 이 관계를 정확히 쓰면 E = -∇V이고, 음의 부호는 내리막 방향을 뜻한다. 다음 유닛에서 이 그래디언트 도구를 갖춰요.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 슬라이더로 등전위 껍질을 바깥으로 옮길수록 전위는 1/r을 따라 낮아졌다. 한 껍질 위에서는 전위가 어디서나 같아 그 면을 따라서는 일이 들지 않는다. 전기장 화살표는 늘 껍질을 직각으로 뚫고 지나며 높은 V(안쪽)에서 낮은 V(바깥쪽)로 향했다. 전위는 크기만 있는 스칼라장이지만, 그 기울기가 벡터장인 전기장을 정해요.

전기장이 전위의 기울기라는 관계 E = -∇V를 다음 유닛(EM-09 그래디언트)에서 정확히 다룬다. 그래디언트는 스칼라장에서 가장 가파른 오르막의 방향과 그 기울기를 뽑아내는 도구다. 거꾸로 전위는 전기장을 경로를 따라 적분해 얻는다. 스칼라장 V와 벡터장 E는 이렇게 미분과 적분으로 서로 오가요.