스칼라장과 벡터장

같은 공간의 점에 무엇을 붙이는가

공간에 같은 간격으로 놓인 점들을 끌어서 둘러보며 탭을 바꾸면, 같은 점들에 무엇을 붙이느냐에 따라 장의 종류가 달라진다. 빈 점에서 시작해 숫자를 밝기로 나타낸 금색 빛, 그리고 화살표 순서로 바뀌어요.

스칼라장: 점마다 숫자 하나

스칼라장은 공간의 각 점에 숫자 하나를 짝지어 준다. 방 안의 온도 T(x, y, z), 산의 고도 h(x, y), 전하 둘레의 전위 V가 모두 스칼라장이다. 값에 크기만 있고 방향이 없으므로, 좌표축을 어떻게 돌려도 그 점의 숫자는 바뀌지 않아요.

벡터장: 점마다 화살표

벡터장은 각 점에 화살표를 짝지어 준다. 화살표에는 크기와 방향이 함께 들어 있다. 흐르는 공기의 속도 v, 그리고 전하가 만드는 전기장 E가 그렇다. 한 점의 화살표는 좌표축 방향의 세 성분 (E_x, E_y, E_z)로 쪼개어 적을 수 있다. 다만 성분은 축을 정해야 값이 정해지는 수라서 축을 돌리면 바뀌고, 그래도 화살표 자체는 그대로예요.

크기와 방향으로 다시 모으기

화살표의 길이가 크기이고, 세 성분을 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌워 구한다. 방향은 같은 화살표를 길이 1로 줄인 단위벡터로 따로 떼어 낸다. 성분이 셋이어도 화살표는 한 점에 하나, 방향을 가진 한 덩어리예요.

스칼라인가 벡터인가

온도, 질량, 전위, 전위차는 스칼라이고 속도, 힘, 전기장, 자기장은 벡터다. 가르는 손쉬운 방법은 그 양에 어느 쪽을 향하느냐고 물어 보는 것이다. 물음이 뜻을 가지면 벡터, 뜻이 없으면 스칼라다. 더 확실한 기준은 화살표처럼 더해지는가이다. 도선의 전류는 흐르는 쪽이 있지만 갈림길에서 그냥 더해지는 스칼라이고, 그에 맞는 벡터는 단위 면적당 전류인 전류 밀도다. 전기장은 방향까지 말해야 다 적은 것이고(EM-03), 전위는 방향이 없는 값 하나예요(EM-08).

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 빈 점들이 먼저 숫자로, 다시 화살표로 채워졌다. 숫자로 채우면 스칼라장, 화살표로 채우면 벡터장이고, 둘은 같은 공간을 서로 다른 양으로 읽은 것이다. 화살표는 좌표축을 어떻게 돌려도 같은 곳을 가리킨다. 그래서 벡터장을 성분 셋으로 쪼개어 적더라도, 그 본질은 방향을 가진 한 덩어리로 남아요.

스칼라장과 벡터장의 표기는 모든 장 이론의 어휘다. 이 표기를 갖추면 다음 유닛들이 풀린다. 전기장 E(EM-03)는 벡터장으로, 전위 V(EM-08)는 스칼라장으로 곧바로 읽히고, 선속과 발산(EM-05), 가우스 법칙(EM-06)도 모두 이 벡터장 위에서 정의돼요.