EM-02 · 정전계 도구도구 장착

스칼라장과 벡터장

장(場)이란 공간의 모든 점에 값을 붙이는 함수다. 점마다 숫자 하나가 붙으면 스칼라장, 화살표가 붙으면 벡터장임을 구분하는 법을 익힌다.

같은 공간에 무엇을 붙이나

드래그해서 공간을 둘러보라. 같은 점들에 무엇을 붙이느냐에 따라 장의 종류가 갈린다. 빈 점에서 숫자로, 다시 화살표로 바꿔 보라.

드래그로 회전. 탭으로 표현 전환.

한 점이 담는 값

점 하나 = 위치만, 담은 값 0개

공간을 점으로만 본다. 아직 어떤 양도 붙어 있지 않다.

값 없음

스칼라장: 점마다 숫자 하나

스칼라장은 공간의 각 점에 숫자 하나를 대응시킨다. 방 안의 온도 T(x, y, z), 산의 고도 h(x, y), 전하 주변의 전위 V가 모두 스칼라장이다. 값은 크기만 있고 방향이 없으므로, 좌표축을 어떻게 돌려도 그 점의 숫자는 바뀌지 않는다.

관찰T : ℝ³ → ℝ

스칼라장은 한 점을 실수 하나로 보낸다.

벡터장: 점마다 화살표

벡터장은 각 점에 화살표를 대응시킨다. 화살표는 크기와 방향을 함께 가진다. 공기의 속도 v, 전하가 만드는 전기장 E가 그렇다. 한 점의 화살표는 세 성분으로 쪼갤 수 있다. 즉 벡터장은 점마다 세 개의 스칼라장(E_x, E_y, E_z)을 묶은 것으로 볼 수 있다.

고르기E : ℝ³ → ?

벡터장은 한 점을 세 실수의 묶음으로 보낸다.

빈칸E = E_x x̂ + E_y ? + E_z ẑ

성분 셋이 각각의 단위벡터에 실린다.

크기와 방향으로 다시 모으기

화살표의 길이가 크기다. 세 성분의 제곱합의 제곱근으로 구한다. 방향은 같은 화살표를 길이 1로 줄인 단위벡터로 따로 떼어낸다. 성분이 셋이라도 화살표는 여전히 한 점에 하나, 방향을 가진 한 덩어리다.

스스로|E| = ?

크기는 세 성분의 제곱합의 제곱근이다.

스칼라인가 벡터인가

온도, 질량, 전위, 전위차는 스칼라다. 속도, 힘, 전기장, 자기장은 벡터다. 판별법은 간단하다. 그 양에 "어느 방향?"을 물어 의미가 있으면 벡터, 없으면 스칼라다. 전기장은 방향을 물어야 완성되고(EM-03), 전위는 방향이 없는 값 하나다(EM-08).

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 빈 점들이 먼저 숫자로, 다시 화살표로 채워졌다. 숫자로 채우면 스칼라장, 화살표로 채우면 벡터장이다. 둘은 같은 공간을 서로 다른 양으로 읽은 것이다. 화살표는 좌표축을 어떻게 돌려도 같은 곳을 가리키므로, 벡터장은 성분 셋으로 쪼개도 본질은 방향을 가진 한 덩어리로 남는다.

장(場)은 공간의 모든 점에 값을 대응시키는 함수다. 값이 숫자 하나면 스칼라장 T(x, y, z)이고, 크기와 방향을 가지면 벡터장 E = E_x x̂ + E_y ŷ + E_z ẑ다. 스칼라장은 점마다 성분 1개, 벡터장은 점마다 3개를 담는다.

도구 장착이 도구를 장착하면

스칼라장과 벡터장의 표기는 모든 장 이론의 어휘다. 이 표기를 장착하면 다음 유닛들이 풀린다. 전기장 E(EM-03)는 벡터장으로, 전위 V(EM-08)는 스칼라장으로 곧장 읽힌다. 선속과 발산(EM-05), 가우스 법칙(EM-06)은 모두 이 벡터장 위에서 정의된다.