EM-13 · 정자계 필드

비오-사바르 법칙

자기장은 움직이는 전하, 곧 전류가 만든다. 비오-사바르 법칙은 전류 요소가 한 점에 만드는 미소 자기장 dB를 준다. 시험점을 돌려 dB가 전류·거리 방향에 모두 수직이고 sinθ로 커짐을 직접 본다.

시험점을 돌려 dB 보기

위로 흐르는 전류 요소 둘레로 시험점을 돌려 보라. 전류와 나란한 쪽(위·아래)에서 미소 자기장 dB는 얼마인가. 전류에 수직인 쪽에서는 어떤가. dB는 어느 방향을 가리키나.

시험점 각도 θ (전류와의 각)θ = 50°

드래그로 회전. 슬라이더로 시험점 각도 θ.

이 점의 미소 자기장 dB

dB = (μ₀/4π)(I dl sinθ)/r² · 전류·거리 방향에 모두 수직

B = ∫ dB = (μ₀/4π)∫ I dl × r̂ / r² · 전류 경로 따라 적분

dB 크기 (최대 대비) · 77%

비스듬

자기장은 전류가 만든다

정지한 전하는 전기장을 만든다(EM-03). 전하가 움직이면, 곧 전류가 흐르면, 그 둘레에 새로운 장이 생긴다. 자기장 B다. 나침반 바늘을 전선 옆에 두면 전류가 흐를 때만 바늘이 틀어진다. 자기장은 전하의 양이 아니라 전하의 흐름에서 나온다. 그래서 자석도 사실은 원자 속 전자의 흐름이 만든다.

비오-사바르, 미소 자기장

전류가 흐르는 길을 짧은 토막으로 자른 것을 전류 요소 I dl이라 한다. 비오-사바르 법칙은 이 한 토막이 거리 r만큼 떨어진 점에 만드는 미소 자기장을 준다. dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r². 크기는 거리 제곱에 반비례하고 sinθ에 비례한다(θ는 전류 방향과 그 점까지의 각). 방향은 전류 방향과 그 점까지 방향 둘 다에 수직이며, 오른손 법칙으로 정한다. 비례상수 μ₀는 진공의 투자율이다.

관찰dB ∝ I dl sinθr²

dB는 sinθ에 비례, 거리 제곱에 반비례한다.

고르기dB ∝ dl × ?

dB의 방향은 dl과 r̂의 외적이다.

빈칸dB = (μ₀4π) ?

비오-사바르 법칙이 한 토막의 dB를 준다.

자기장은 전류를 감싼다

전기장은 전하에서 방사형으로 뻗어 나왔다. 자기장은 다르다. 외적 dl × r̂ 때문에 dB는 전류를 축으로 빙 둘러싼다. 전류와 나란한 위·아래(θ=0)에서는 sinθ=0이라 dB가 0이고, 전류에 수직인 옆(θ=90°)에서 가장 세다. 그래서 직선 전류 둘레의 자기장은 동심원을 그린다. 오른손 엄지를 전류 방향으로 세우면 나머지 손가락이 자기장이 도는 방향을 가리킨다.

전체 자기장 = 적분

한 토막의 dB를 알면, 전류가 흐르는 길 전체를 따라 모든 토막의 dB를 벡터로 더해 전체 자기장을 얻는다. B = ∫ dB다. EM-04에서 점전하의 dE를 전하 분포에 적분했던 것과 똑같은 구조다. 예를 들어 무한히 긴 직선 전류에서는 이 적분이 B = μ₀I/(2πr)로 깔끔하게 풀려, 자기장이 거리에 반비례한다. 대칭이 좋을 때는 다음 유닛의 앙페르 법칙이 이 적분마저 건너뛰게 해 준다.

스스로B = ?

전체 자기장은 전류 따라 dB를 적분한 것이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 시험점을 전류와 나란한 위·아래로 옮기면 dB가 0으로 사라졌고, 전류에 수직인 옆으로 옮기면 가장 컸다. 크기는 sinθ를 따랐다. 그리고 dB는 늘 전류와 시험 방향이 이루는 평면에서 빠져나가, 전류를 빙 둘러싸는 쪽을 가리켰다. 외적 dl × r̂의 결과다. 이 한 토막의 dB를 전류 경로 따라 모두 더하면 전체 자기장 B가 된다.

비오-사바르 법칙은 전류 요소 I dl이 한 점에 만드는 미소 자기장 dB를 준다. dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r²로, 전류 방향과 그 점까지 방향 모두에 수직(오른손)이고 거리 제곱에 반비례하며 sinθ에 비례한다. 전류와 나란한 쪽에서는 0, 수직인 쪽에서 최대다. 전체 자기장은 전류 경로 따라 적분한 B = ∫ dB다.

이어지는 길

비오-사바르 적분은 어떤 전류 모양에도 통하지만 손이 많이 간다. 대칭이 좋을 때는 지름길이 있다. 자기장을 닫힌 고리 따라 합한 ∮B·dl이 그 고리를 지나는 전류에 정비례한다는 앙페르 법칙(EM-14)이다. 정전계의 가우스 법칙이 그랬듯, 직선·솔레노이드·토로이드의 자기장을 적분 없이 끄집어낸다.