EM-13 · 정자계 필드

비오-사바르 법칙

자기장은 움직이는 전하, 곧 전류가 만든다. 비오-사바르 법칙은 전류의 작은 토막 하나가 한 점에 만드는 미소 자기장 dB를 구하는 식이다. 시험점을 돌려 가며 dB가 전류 방향과 거리 방향 모두에 수직이고 sinθ를 따라 커진다는 것을 직접 확인한다.

시험점을 돌려 dB 크기를 본다

위쪽으로 흐르는 금색 전류 요소 둘레에서 슬라이더로 시험점을 돌리면, 시험점에 붙은 미소 자기장 화살표의 길이가 달라진다. 전류와 나란한 위아래 쪽에서는 화살표가 사라지고, 전류에 수직인 옆에서 가장 길어요. 화살표는 늘 전류와 시험점이 이루는 평면 밖을 향하고, 흐린 고리를 따라 전류를 감아 도는 방향과 같다.

시험점 각도 θ (전류와의 각)θ = 50°

끌면 회전하고, 슬라이더는 시험점 각도 θ를 바꾼다.

이 점의 미소 자기장 dB

dB = (μ₀/4π)(I dl sinθ)/r² · 전류·거리 방향에 모두 수직

B = ∫ dB = (μ₀/4π)∫ I dl × r̂ / r² · 전류 경로 따라 적분

dB 크기 (최대 대비) · 77%

비스듬

자기장은 전류가 만든다

정지한 전하는 전기장을 만든다(EM-03). 전하가 움직이면, 곧 전류가 흐르면 그 둘레에 또 다른 장인 자기장이 생긴다. 나침반 바늘을 전선 옆에 두면 전류가 흐를 때에만 바늘이 돌아간다. 자기장은 전하의 양이 아니라 전하의 흐름에서 나온다. 자석의 자기도 원자 속 전자에서 나오는데, 전자의 궤도 운동과 함께 전자가 본래 지닌 스핀이 그 근원이에요.

비오-사바르, 미소 자기장

전류가 흐르는 길을 짧은 토막으로 자른 것을 전류 요소 I dl이라 한다. 비오-사바르 법칙은 이 토막 하나가 거리 r만큼 떨어진 점에 만드는 미소 자기장을 준다. dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r². 크기는 거리의 제곱에 반비례하고 sinθ에 비례하는데, θ는 전류 방향과 그 점을 향한 방향 사이의 각이다. 방향은 전류 방향과 그 점을 향한 방향 둘 다에 수직이며 오른손 법칙으로 정한다. 비례상수 μ₀는 진공의 투자율이에요.

관찰dB ∝ I dl sinθr²

dB는 sinθ에 비례하고 거리의 제곱에 반비례해요.

고르기dB ∝ dl × ?

dB의 방향은 dl과 r̂의 외적 방향이에요.

빈칸dB = (μ₀4π) ?

비오-사바르 법칙으로 토막 하나의 dB를 구해요.

자기장은 전류를 감싼다

전기장은 전하에서 사방으로 곧게 뻗어 나갔지만, 자기장은 다르다. 외적 dl × r̂ 때문에 dB는 전류를 축으로 빙 둘러싼다. 전류와 나란한 위아래(θ=0)에서는 sinθ=0이라 dB가 0이고, 전류에 수직인 옆(θ=90°)에서 가장 세다. 그래서 직선 전류 둘레의 자기장은 같은 중심을 가진 원을 그린다. 오른손 엄지를 전류 방향으로 세우면 나머지 네 손가락이 자기장이 도는 방향을 가리켜요.

전체 자기장 = 적분

토막 하나의 dB를 알면, 전류가 흐르는 길 전체를 따라 모든 토막의 dB를 벡터로 더해 전체 자기장을 얻는다. B = ∫ dB다. EM-04에서 점전하의 dE를 전하 분포에 걸쳐 적분했던 것과 똑같은 구조다. 무한히 긴 직선 전류에서는 이 적분이 B = μ₀I/(2πr)로 깔끔하게 풀려 자기장이 거리에 반비례하는데, 토막 하나는 거리의 제곱에 반비례해도 끝없이 긴 전류를 모두 더하면 한 차수가 줄어드는 셈이다. 대칭이 좋을 때는 다음 유닛의 앙페르 법칙으로 이 적분마저 건너뛸 수 있어요.

스스로B = ?

전체 자기장은 전류를 따라 dB를 적분한 값이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 시험점을 전류와 나란한 위아래로 옮기면 dB가 0으로 사라졌고, 전류에 수직인 옆으로 옮기면 가장 컸다. 크기는 sinθ를 따랐다. 그리고 dB는 늘 전류와 시험점이 이루는 평면 밖으로 빠져나가 전류를 빙 둘러싸는 쪽을 가리켰는데, 외적 dl × r̂의 결과다. 토막 하나의 dB를 전류 경로를 따라 모두 더하면 전체 자기장 B가 돼요.

비오-사바르 법칙은 전류 요소 I dl이 한 점에 만드는 미소 자기장 dB를 준다. dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r²로, 전류 방향과 그 점을 향한 방향 모두에 수직(오른손)이고 거리의 제곱에 반비례하며 sinθ에 비례한다. 전류와 나란한 쪽에서는 0, 수직인 쪽에서 최대다. 전체 자기장은 전류 경로를 따라 적분한 B = ∫ dB다.

이어지는 길

비오-사바르 적분은 어떤 전류 모양에도 통하지만 손이 많이 간다. 대칭이 좋을 때는 지름길이 있는데, 닫힌 고리를 따라 자기장을 더한 ∮B·dl이 그 고리를 지나는 전류에 정비례한다는 앙페르 법칙(EM-14)이다. 정전기의 가우스 법칙이 그랬듯, 직선 · 솔레노이드 · 토로이드의 자기장을 적분 없이 구할 수 있어요.