자기력과 로런츠 힘

속도의 각도를 바꿔 힘을 본다

하늘색 화살표가 위로 향한 고른 자기장이고, 금색 공이 양전하다. 슬라이더로 속도 화살표가 자기장과 이루는 각을 바꾸면 전하가 받는 힘 화살표의 길이가 달라진다. 속도가 자기장과 나란하면 힘이 사라지고, 수직일 때 가장 커지며, 이때 흐린 원이 전하가 따라 돌 궤도를 나타내요. 힘은 늘 속도와 자기장 둘 다에 직각인 쪽을 향한다.

장이 힘을 준다

EM-13과 EM-14는 전류가 자기장을 만드는 쪽이었다. 이번에는 반대로, 자기장이 그 속을 지나는 전하에 힘을 준다. 정지한 전하는 자기력을 받지 않고, 전하가 움직일 때에만 그 속도에 맞춘 힘이 생긴다. 이것이 자기력이다. 전기력이 전하의 양에 작용한다면, 자기력은 전하의 움직임에 작용해요.

외적, 세 번 수직

자기력은 외적으로 쓴다. F = qv × B. 그래서 힘은 속도에도 수직이고 자기장에도 수직이며, 세 벡터가 서로 직각을 이룬다. 크기는 F = qvB sinθ이고, θ는 속도와 자기장 사이의 각이다. 속도가 자기장과 나란하면(θ=0) sinθ=0이라 힘이 없고, 수직일 때(θ=90°) 가장 세다. 방향은 오른손 법칙으로 정하는데, 속도에서 자기장 쪽으로 손가락을 감아쥐면 엄지가 양전하가 받는 힘의 방향이다. 음전하라면 힘의 방향이 반대예요.

일을 하지 않는다

자기력의 가장 묘한 점은 일을 하지 않는다는 것이다. 일은 힘과 변위의 내적인데, 자기력은 늘 속도와 수직이라 그 내적이 0이다. 그래서 자기력은 전하의 속력을 바꾸지 못하고 운동에너지도 그대로 둔다. 자기력이 할 수 있는 일은 방향을 휘게 하는 것뿐이다. 입자 가속기에서 자석으로 입자의 진로를 휘게 하고, 속력을 올리는 일은 전기장에 맡기는 까닭이 여기 있어요.

원운동, 로런츠, 전류

속도가 자기장에 수직이면 힘이 늘 속도와 직각이므로 전하는 일정한 속력으로 원을 그린다. 이 힘이 구심력이 되어 반지름 r = mv/(qB)가 정해지고, 자기장이 셀수록 원이 작아진다. 한 바퀴 도는 시간은 속력과 상관없이 자기장과 질량, 전하로만 정해지는데, 사이클로트론이 이 성질을 이용한다. 속도에 자기장과 나란한 성분이 있으면 그 방향으로는 힘이 없어 그대로 나아가므로 전체 궤적은 나선이 된다. 전기력과 자기력을 합치면 로런츠 힘 F = q(E + v × B)이고, 전류는 움직이는 전하의 모임이므로 자기장 속 도선이 받는 힘은 F = IL × B예요.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 속도를 자기장과 나란하게 두면 힘이 0으로 사라졌고, 수직으로 돌리면 가장 컸다. 크기는 sinθ를 따랐다. 그리고 힘은 늘 속도와 자기장이 이루는 평면 밖으로 빠져나가 둘 다에 직각인 쪽을 가리켰는데, 외적 v × B의 결과다. 이 힘은 속도에 수직이라 속력은 바꾸지 못하고 방향만 휘게 하므로, 자기장 속 전하는 원이나 나선을 그려요. F = qv × B.

앙페르 법칙(EM-14)은 적분형 ∮B·dl = μ₀I였다. 다음 유닛의 회전(컬)과 스토크스 정리(EM-16)는 이 고리 적분을 한 점에서 성립하는 미분형 ∇ × B = μ₀J로 바꾼다. 발산정리(EM-07)가 가우스 법칙에 했던 일을 스토크스 정리가 앙페르 법칙에 하는 셈이다. 회전은 장이 한 점에서 얼마나 소용돌이치는지를 재는 도구예요.