EM-01 · 정전계 도구도구 장착

좌표계와 미소 요소

공간을 어떤 모양의 조각으로 잘게 나누느냐에 따라 적분이 쉬워지기도 하고 어려워지기도 한다. 대칭에 맞는 좌표계를 골라 그 좌표계의 미소 조각, 곧 미소 부피를 쓰는 법을 익힌다.

공간 조각에 꼭 맞는 미소 부피를 고른다

금색 조각은 구의 한 부분을 잘라 낸 공간이다. 끌어서 이리저리 돌리며 세 좌표계의 미소 조각을 차례로 겹쳐 보면, 이 금색 조각을 빈틈없이 채우는 것은 하나뿐이에요.

끌면 회전하고, 탭을 누르면 좌표계가 바뀐다.

선택한 좌표계의 미소 부피

dV = dx · dy · dz

곧은 모서리 셋으로 된 상자다. 세 변이 모두 좌표 증분 그대로라 스케일 인자가 없어요.

어긋남

직교 좌표, 곧은 큐브

세 축이 서로 직각이고 눈금 간격이 어디서나 같다. 그래서 미소 부피는 세 변을 그냥 곱한 값이고, 휜 변이 하나도 없으니 스케일 인자는 모두 1이에요.

관찰dV = dx dy dz

직교 좌표의 세 변은 그대로 곱해요.

원통 좌표, 각도가 호가 된다

원통 좌표에서는 같은 각도 dφ라도 축에서 멀수록, 곧 ρ가 클수록 더 긴 거리를 쓸고 지나간다. 그래서 φ 방향 변의 길이는 dφ가 아니라 ρ dφ다. 각도를 길이로 바꿔 주는 이 ρ가 스케일 인자이고, 나머지 두 변 dρ와 dz는 곧은 그대로예요.

관찰dV = dρ ρ dφ dz

각도 방향 변만 ρ를 곱해 길이가 돼요.

고르기dV = dρ (?) dz

각도 방향 변만 ρ를 곱해 길이가 돼요.

구 좌표, 호가 둘

구 좌표에는 휜 변이 둘이다. 경선을 따라가는 변은 반지름 r인 원의 호라서 길이가 r dθ다. 위선을 따라가는 변은 반지름이 r이 아니라 r sinθ인 작은 원의 호라서 r sinθ dφ다. 위선 원은 극에 가까울수록 작아지기 때문이다. 두 스케일 인자를 곱하면 r² sinθ가 되고, 지름 방향 변 dr은 곧은 그대로예요.

고르기dV = dr (?) ( ? )

경선 호는 반지름이 r, 곧 구의 반지름 그대로다.

빈칸dV = dr (r dθ) (?)

위선 호의 반지름은 r sinθ로, 극에 가까울수록 작아져요.

스스로dV = ? dr dθ dφ

두 스케일 인자를 모으면 r² sinθ가 돼요.

면적 요소도 같은 논리

반지름 r인 구면 위 작은 조각의 넓이도 같은 방법으로 구한다. 두 호를 곱하면 dA = r² sinθ dθ dφ다. 다음 유닛들에서 만날 가우스 법칙의 면적분은 바로 이 조각들을 구면 전체에서 더하는 일이에요.

첫 화면으로 돌아가서

금색 조각을 빈틈없이 채운 것은 구 좌표의 미소 부피였다. 세 모서리(dr, r dθ, r sinθ dφ)가 조각의 대칭과 같은 방향으로 자라기 때문이다. 직교 상자는 휜 면을 따라가지 못해 어긋났고, 원통 쐐기는 위아래 면이 평평해서 구면과 어긋났다. 좌표계를 고른다는 것은 결국 미소 조각의 모양을 문제의 대칭에 맞추는 일이에요.

미소 부피 요소는 세 모서리 길이의 곱이다. 곧은 모서리는 좌표 증분 그대로 쓰지만, 휜 모서리는 스케일 인자를 곱해 호의 길이로 바꾼다. 직교 dV = dx dy dz, 원통 dV = ρ dρ dφ dz, 구 dV = r² sinθ dr dθ dφ.

도구 장착이 도구를 장착하면

좌표계와 미소 요소는 모든 장(場) 적분의 손잡이다. 이 도구를 갖추면 다음 유닛들이 풀린다. 스칼라장과 벡터장(EM-02), 전기 선속과 발산(EM-05), 가우스 법칙의 면적분(EM-06)이 모두 여기서 고른 미소 조각 위에서 계산돼요.