EM-01 · 정전계 도구도구 장착
좌표계와 미소 요소
공간을 어떻게 잘게 쪼개느냐가 적분의 난이도를 결정한다. 대칭에 맞는 좌표계의 미소 조각을 고르는 법을 익힌다.
공간 조각에 맞는 미소 부피 고르기
드래그해서 금색 공간 조각을 살펴보라. 이 조각을 빈틈없이 채우는 좌표계는 어느 것인가.
드래그로 회전. 탭으로 좌표계 전환.
선택한 좌표계의 미소 부피
dV = dx · dy · dz
곧은 모서리 셋. 스케일 인자 없음.
어긋남
직교 좌표, 곧은 큐브
세 축이 서로 직각이고 간격이 어디서나 같다. 미소 부피는 세 변의 단순한 곱이다. 굽은 변이 없으니 스케일 인자가 1이다.
관찰dV = dx dy dz
직교의 세 변은 그대로 곱한다.
원통 좌표, 각도가 호가 된다
ρ가 커질수록 같은 각도 dφ가 더 먼 거리를 쓸어낸다. 그래서 φ 방향 변의 길이는 dφ가 아니라 ρ dφ다. 각도를 길이로 바꾸는 ρ가 스케일 인자다.
관찰dV = dρ ρ dφ dz
각도 변만 ρ를 달고 길이가 된다.
고르기dV = dρ (?) dz
각도 변만 ρ를 달고 길이가 된다.
구 좌표, 호가 둘
경선 방향 변은 반지름 r인 원의 호라서 r dθ다. 위선 방향 변은 반지름이 r이 아니라 r sinθ인 작은 원의 호라서 r sinθ dφ다. 두 스케일 인자가 곱해져 r² sinθ가 된다.
고르기dV = dr (?) ( ? )
경선 호는 반지름 r.
빈칸dV = dr (r dθ) (?)
위선 호의 반지름은 r sinθ.
스스로dV = ? dr dθ dφ
두 스케일 인자를 모으면 r² sinθ.
면적 요소도 같은 논리
반지름 r인 구면 위 한 조각의 넓이는 두 호의 곱이다. dA = r² sinθ dθ dφ. 다음 유닛의 가우스 법칙 면적분이 바로 이 조각을 합치는 일이다.
첫 화면으로 돌아가서
금색 조각을 빈틈없이 채운 것은 구 좌표의 미소 부피였다. 세 모서리(dr, r dθ, r sinθ dφ)가 그 조각의 대칭과 같은 방향으로 자라기 때문이다. 큐브는 곡면을 따라가지 못해 어긋났고, 원통 쐐기는 윗면과 아랫면이 어긋났다. 좌표계 선택이란 결국 미소 조각의 모양을 문제의 대칭에 맞추는 일이다.
미소 부피 요소는 세 모서리 길이의 곱이다. 곧은 모서리는 좌표 증분 그대로지만, 굽은 모서리는 스케일 인자를 곱해 호의 길이가 된다. 직교 dV = dx dy dz, 원통 dV = ρ dρ dφ dz, 구 dV = r² sinθ dr dθ dφ.
도구 장착이 도구를 장착하면
좌표계와 미소 요소는 모든 장(場) 적분의 손잡이다. 이 도구를 장착하면 다음 유닛들이 풀린다. 스칼라장과 벡터장(EM-02), 전기 선속과 발산(EM-05), 그리고 가우스 법칙의 면적분(EM-06)이 모두 여기서 고른 미소 조각 위에서 일어난다.