맥스웰 방정식

네 방정식을 하나씩 보기

네 개의 단추로 맥스웰 방정식을 하나씩 골라 보라. 두 개는 발산(∇·)으로 장이 솟는 곳을, 두 개는 회전(∇×)으로 장의 소용돌이를 그린다. 네 식이 어떻게 전기와 자기를 하나로 엮는지 보라.

네 방정식이 한자리에

지금까지 전기와 자기를 따로 쌓아 온 모든 것이 네 개의 방정식으로 모인다. 가우스 법칙(∇·E = ρ/ε₀, EM-06)은 전기장이 전하에서 솟음을, 자기 가우스 법칙(∇·B = 0)은 자기장에는 솟는 곳이 없음을 말한다. 패러데이 법칙(∇×E = -∂B/∂t, EM-20)은 변하는 자기장이 전기장을 만들고, 변위전류로 완성된 앙페르 법칙(∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t, EM-21)은 전류와 변하는 전기장이 자기장을 만든다고 말한다. 새로운 것은 없다. 이미 배운 넷을 한자리에 모았을 뿐이다.

두 발산과 두 회전

네 식은 두 종류로 갈린다. 발산 두 개는 장이 어디서 솟는지를, 회전 두 개는 장이 어떻게 도는지를 말한다. 발산을 보면 전기장은 전하라는 솟는 곳이 있지만(∇·E = ρ/ε₀) 자기장은 없다(∇·B = 0). 자기 홀극이 발견된 적이 없기 때문이다. 그래서 자기력선은 시작도 끝도 없이 늘 닫힌 고리를 이룬다. 회전 두 개는 전기장과 자기장을 시간으로 묶는 짝이다. 한쪽이 변하면 다른 쪽이 소용돌이친다.

대칭과 그 깨짐

네 식에서 전기장과 자기장은 거의 거울처럼 마주 본다. 변하는 자기장이 전기장을 만들고(패러데이), 변하는 전기장이 자기장을 만든다(앙페르–맥스웰). 그러나 대칭은 완벽하지 않다. 전하는 있어도 자기 홀극은 없고, 두 회전식의 부호가 어긋난다. 패러데이는 음, 앙페르–맥스웰은 양이다. 바로 이 비대칭이 두 장을 서로 상쇄시키는 대신 서로 떠받치게 만든다. 만약 부호가 같아 완벽히 대칭이었다면 둘은 서로를 지웠을 것이다.

방정식 속에 숨은 파동

전하도 전류도 없는 빈 공간(ρ = 0, J = 0)을 생각하자. 변하는 전기장이 자기장을 만들고, 그 변하는 자기장이 다시 전기장을 만든다. 두 회전식을 맞물리면 전기장과 자기장이 스스로를 떠받치며 퍼져 나가는 파동방정식이 된다. 그 속력은 c = 1/√(μ₀ε₀)로, 오직 두 상수에서 나온다. 맥스웰이 이 값을 계산했을 때 측정된 빛의 속력과 같았다. 빛이 곧 전자기파였던 것이다. 다음 장에서 이 파동을 직접 끄집어낸다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 단추 네 개로 본 방정식들은 따로 떨어진 법칙이 아니었다. 두 발산은 전기장과 자기장이 솟는 곳을(전하는 있고 홀극은 없다), 두 회전은 둘을 시간으로 묶는 고리를 그렸다. 변하는 한 장이 다른 장을 낳고, 그 장이 다시 처음 장을 낳는다. 네 식이 닫힌 하나의 체계를 이루기에, 작은 흔들림 하나가 스스로를 되살리며 공간을 달려 나간다. 그것이 빛이다.

다음(EM-23)은 빈 공간에서 두 회전식을 맞물려 파동방정식을 직접 끄집어낸다. 전기장과 자기장이 서로 수직이고 진행 방향과도 수직인 평면파가 c = 1/√(μ₀ε₀)의 속력으로 달림을 본다. 맥스웰 방정식이 품고 있던 빛이 모습을 드러낸다.