맥스웰 방정식

네 방정식을 하나씩 보기

네 단추가 맥스웰 방정식을 하나씩 그림으로 띄운다. 두 개는 발산(∇·)으로 장이 솟는 곳을, 두 개는 회전(∇×)으로 장이 도는 모양을 그리는데, 빨간 점전하에서 하늘색 화살표가 뻗어 나가는 그림과 막대자석을 감싼 금색 고리가 늘 닫혀 있는 그림을 나란히 견주어 볼 만해요. 표시기에는 고른 식의 적분형과 미분형이 함께 뜬다. 네 식이 전기와 자기를 어떻게 하나로 엮는지가 이 강의 질문이다.

네 방정식이 한자리에

전기와 자기를 따로 쌓아 온 내용이 모두 네 방정식으로 모인다. 가우스 법칙(∇·E = ρ/ε₀, EM-06)은 전기장이 전하에서 솟는다는 것을, 자기 가우스 법칙(∇·B = 0)은 자기장에는 솟는 곳이 없다는 것을 말한다. 패러데이 법칙(∇×E = -∂B/∂t, EM-20)은 변하는 자기장이 전기장을 만든다는 것을, 변위전류로 완성된 앙페르 법칙(∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t, EM-21)은 전류와 변하는 전기장이 자기장을 만든다는 것을 말한다. 새로 더하는 법칙은 없고, 이미 배운 넷을 한자리에 모았을 뿐이에요. 다만 지금의 네 줄 모양은 맥스웰이 처음 쓴 그대로가 아니고, 그가 성분별로 늘어놓은 스무 개 남짓한 식을 뒤에 헤비사이드가 벡터 기호로 묶어 정리한 것이다. 여기에 전하가 장에서 받는 로렌츠 힘을 더하면 고전 전자기학 전체가 된다.

두 발산과 두 회전

네 식은 두 종류로 나뉜다. 발산 두 개는 장이 어디서 솟는지를, 회전 두 개는 장이 어떻게 도는지를 말한다. 발산을 보면 전기장에는 전하라는 솟는 곳이 있지만(∇·E = ρ/ε₀) 자기장에는 그런 곳이 없다(∇·B = 0). 자기 홀극이 지금까지 한 번도 발견되지 않았기 때문이고, 그래서 자기력선은 시작도 끝도 없이 늘 닫힌 고리를 이뤄요. 막대자석을 아무리 잘게 잘라도 조각마다 N극과 S극이 함께 생기는 것도 같은 사실이다. 회전 두 개는 전기장과 자기장을 시간으로 묶는 짝이어서, 한쪽이 변하면 다른 쪽이 그 둘레를 돈다.

대칭과 그 깨짐

네 식에서 전기장과 자기장은 거의 거울처럼 마주 본다. 변하는 자기장이 전기장을 만들고(패러데이), 변하는 전기장이 자기장을 만든다(앙페르–맥스웰). 그러나 대칭이 완벽하지는 않아서, 전하는 있어도 자기 홀극은 없고 두 회전 식의 부호도 엇갈린다. 패러데이 쪽은 음이고 앙페르–맥스웰 쪽은 양이다. 이 부호 차이 덕분에 두 회전 식을 합치면 두 장이 번갈아 주고받으며 출렁이는 파동의 식이 나오고, 부호가 같았다면 출렁임 없이 한쪽으로 불어나거나 사그라드는 답만 남아요. 또 전하가 없는 빈 공간에서는 단위를 맞춘 뒤 전기장과 자기장을 맞바꾸고 한쪽에 음의 부호를 붙여도 네 식이 그대로 성립하는데, 이 맞바꿈이 통하는 것도 부호가 엇갈려 있기 때문이다. 앙페르–맥스웰 식의 발산을 구해 가우스 법칙과 합치면 전하는 생기지도 사라지지도 않는다는 전하 보존이 저절로 나오는데, 이것도 네 식이 서로 맞물려 있다는 증거예요.

방정식 속에 숨은 파동

전하도 전류도 없는 빈 공간(ρ = 0, J = 0)에서는 변하는 전기장이 자기장을 만들고, 그 자기장이 변하면서 다시 전기장을 만든다. 두 회전 식을 맞물리면 전기장과 자기장이 서로를 이어 가며 퍼져 나가는 파동방정식이 되고, 그 속력은 c = 1/√(μ₀ε₀)로 두 상수만으로 정해진다. 맥스웰이 이 값을 계산하자 당시 측정된 빛의 속력과 같았고, 빛이 곧 전자기파라는 결론이 여기서 나왔어요. 이것을 실험으로 확인한 것은 맥스웰이 세상을 떠난 뒤로, 헤르츠가 불꽃 간극으로 전파를 만들고 받아 냈다. 다음 강에서 이 파동을 식에서 직접 꺼낸다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 단추 네 개로 본 방정식들은 따로 떨어진 법칙이 아니었다. 두 발산은 전기장과 자기장이 솟는 곳을(전하는 있고 홀극은 없다), 두 회전은 두 장을 시간으로 묶는 고리를 그렸다. 변하는 한 장이 다른 장을 낳고 그 장이 다시 처음 장을 낳으니, 네 식은 닫힌 하나의 체계를 이뤄요. 그래서 한 곳의 작은 흔들림이 스스로를 이어 가며 공간을 달려 나가고, 그것이 빛이다.

다음 강(EM-23)에서는 빈 공간에서 두 회전 식을 맞물려 파동방정식을 직접 꺼낸다. 전기장과 자기장이 서로 수직이고 진행 방향과도 수직인 평면파가 c = 1/√(μ₀ε₀)의 속력으로 달리는 모습을 보게 되고, 맥스웰 방정식에 들어 있던 빛이 모습을 드러내요.