변위전류

충전 속도를 올려 변위전류 보기

커패시터를 충전한다. 충전 속도를 올리면 도선뿐 아니라 전하가 건너지 않는 극판 틈을 감싸고도 자기장이 똑같이 돈다. 충전 속도가 0이면(정지) 자기장도 없다. 텅 빈 틈을 감싸고 자기장이 도는 까닭은 무엇인가.

충전되는 커패시터의 모순

앙페르 법칙은 자기장의 순환이 고리를 지나는 전류에 비례한다고 말한다. ∮B·dl = μ₀I_enc(EM-14). 그런데 커패시터로 들어가는 도선을 앙페르 고리로 감싸고 그 고리에 막을 씌워 보자. 도선을 꿰뚫는 평평한 막을 쓰면 전류가 I만큼 지난다. 그러나 극판 사이 틈으로 불룩하게 지나가는 막을 쓰면 도선이 꿰뚫지 않아 전류가 0이다. 같은 고리, 다른 막, 다른 답이다. 정자계에서 완벽했던 앙페르 법칙이 시변계에서 깨진다.

맥스웰의 보탬, 변위전류

극판 사이에서는 전하가 쌓이며 전기장 E가 자란다. 맥스웰은 변하는 전기선속 ε₀ dΦ_E/dt가 틈에서 빠진 전류를 정확히 채운다는 것을 보았다. 그는 이것을 변위전류 I_d = ε₀ dΦ_E/dt라 불렀다. 불룩한 막은 도선 전류를 하나도 못 잡지만 같은 크기의 변위전류를 잡는다. 이제 두 막이 모두 μ₀I를 준다. 전류의 연속성이 되살아난다. 보정된 앙페르 법칙은 ∮B·dl = μ₀(I_c + I_d)다.

패러데이의 거울상

패러데이는 변하는 자기장이 전기장을 만든다고 했다. ∇ × E = -∂B/∂t(EM-20). 맥스웰의 항은 그 거울상이다. 변하는 전기장이 자기장을 만든다. ∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t. 두 식의 부호가 어긋난 점에 주목하라. 패러데이는 음, 맥스웰은 양이다. 이 비대칭이 두 장을 서로 상쇄시키는 대신 서로 쫓게 만든다. 이제 두 회전 방정식이 대칭을 이룬다. 변하는 한 장이 다른 장을 낳고, 그 장이 다시 처음 장을 낳는다.

전자기파의 문을 열다

이 항 덕분에 전하도 도선도 없는 빈 공간(J = 0)에서도 변하는 전기장이 자기장을 만들고, 그 변하는 자기장이 다시 전기장을 만든다(패러데이). 둘이 서로를 떠받치며 진공을 달리는 전자기파가 된다. 그 속력은 c = 1/√(μ₀ε₀)로, 오직 두 상수에서 나온다. 맥스웰이 계산한 이 값이 측정된 빛의 속력과 같았다. 빛이 곧 전자기파였던 것이다. 같은 항이 교류 회로에서 전류가 커패시터를 건너 흐르는 듯 보이는 까닭도 설명한다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 충전 속도가 0일 때는 자기장이 없었고, 빨리 충전할수록 텅 빈 극판 틈을 감싸고 자기장이 자랐다. 그 틈에는 진짜 전하가 건너지 않는데도, 그곳의 변하는 전기장이 정확히 I_d = ε₀ dΦ_E/dt만큼, 곧 도선의 전류와 같은 크기의 전류처럼 행세한다. 그래서 도선을 감싼 고리와 틈을 감싼 고리의 자기장이 똑같았다. ∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t. 변하는 전기장이 자기를 낳는다.

이제 네 방정식이 모두 모였다. 가우스(∇·E = ρ/ε₀), 자기 가우스(∇·B = 0), 패러데이(∇ × E = -∂B/∂t), 그리고 변위전류로 완성된 앙페르(∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t). 다음(EM-22)은 이 넷을 한자리에 모아 맥스웰 방정식으로 종합하고, 그 안에 전자기파가 어떻게 숨어 있는지 본다.