EM-04 · 정전계 필드

연속 전하의 적분

연속으로 퍼진 전하의 전기장은, 그것을 무수히 많은 점전하 조각으로 쪼개 각 조각의 미소장을 벡터로 더해 구한다. 조각을 잘게 나눌수록 합이 참값으로 수렴함을 직접 본다.

조각을 늘려 적분에 다가가기

전하 막대를 몇 조각으로 나눠 볼지 골라라. 각 조각이 만든 미소 화살표 dE를 머리에서 꼬리로 이으면 전체 전기장 E가 된다. 조각이 많아질수록 합은 어떻게 변하나.

조각 수 N

드래그로 회전. 버튼으로 조각 수 N.

P점의 전기장 E (조각들의 합)

E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · 미소장의 합

dq = λ dl = σ dA = ρ dV · 선·면·부피 밀도

수렴도 · 70%

거친 근사

점에서 분포로

점전하 하나의 전기장은 EM-03에서 봤다. 전하가 막대나 판처럼 연속으로 퍼져 있으면, 그것을 무수히 많은 점전하 조각으로 본다. 각 조각 dq가 만드는 미소 전기장은 dE = k dq/r² r̂다. 전체 장은 이 미소장들을 다 더한 것이다. 그 더하기가 한없이 잘게 쪼갠 합, 곧 적분이다.

관찰dE = k dqr² r̂

한 조각은 점전하처럼 dE를 만든다.

조각의 전하 dq

한 조각의 전하 dq는 밀도 곱하기 그 조각의 크기다. 선전하는 dq = λ dl, 면전하는 dq = σ dA, 부피전하는 dq = ρ dV다. 여기서 dl, dA, dV는 EM-01에서 고른 미소 요소다. 대칭에 맞는 좌표계를 고르면 이 적분이 깨끗해진다.

고르기dq = ?

선전하 조각의 전하는 밀도 곱하기 길이다.

합이 적분이 된다

조각을 N개로 나누면 미소장 N개의 벡터 합이 근삿값이다. N을 키워 조각을 한없이 잘게 만들면, 합은 하나의 값으로 수렴한다. 그 극한이 적분 E = ∫ k dq/r² r̂다. 전기장은 벡터이므로 성분별로 따로 적분한다.

빈칸E = ?

적분은 미소장을 무한히 더한 것이다.

스스로E = ?

전체 장은 모든 조각의 dE를 적분한 값이다.

방향도 함께 더해진다

미소장 dE는 벡터라서 크기뿐 아니라 방향도 함께 더해진다. 대칭이 있으면 일부 성분은 서로 상쇄된다. 예를 들어 아주 긴 직선 전하에서는 막대 방향 성분이 모두 지워지고 수직 성분만 남는다. 그래서 답이 간단해진다. 어떤 성분이 살아남는지 먼저 보는 것이 적분의 요령이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 조각이 하나일 때는 막대를 가운데 점 하나로 본 셈이라 화살표가 빗나갔다. 조각을 늘리자 미소장 dE들이 머리에서 꼬리로 이어지며 합이 한 방향, 한 크기로 수렴했다. 그 수렴값이 적분 E = ∫ k dq/r² r̂다. 적분이란 결국 잘게 쪼갠 점전하들의 장을 빠짐없이 더하는 일이다.

연속 전하의 전기장은 분포를 무수한 점전하 조각 dq로 쪼개, 각 조각의 미소장 dE = k dq/r² r̂를 벡터로 적분한 것이다. E = ∫ k dq/r² r̂이고, 조각의 전하는 dq = λ dl(선), σ dA(면), ρ dV(부피)다.

이어지는 길

직접 적분은 어떤 분포에도 통하지만 손이 많이 간다. 대칭이 좋을 때는 더 빠른 길이 있다. 전기장이 닫힌 면을 얼마나 통과하는지 세는 선속과 발산(EM-05), 그리고 가우스 법칙(EM-06)으로 가면, 대칭 분포의 장을 적분 없이 구할 수 있다.