EM-04 · 정전계 필드

연속 전하의 적분

연속으로 퍼진 전하가 만드는 전기장은, 그 전하를 수많은 점전하 조각으로 쪼갠 뒤 조각마다 생기는 미소장을 벡터로 모두 더해 구한다. 조각을 잘게 나눌수록 그 합이 참값으로 다가가는 모습을 직접 확인한다.

조각을 늘려 적분에 다가간다

전하 막대를 몇 조각으로 나눌지 버튼으로 고르면, 각 조각이 만든 작은 화살표 dE가 머리에서 꼬리로 이어져 P점의 전체 전기장 E가 된다. 조각이 하나뿐이면 합의 방향부터 빗나가지만, 조각을 늘리면 사슬 끝이 한 점으로 모여요. 표시기의 수렴도는 그 합이 참값에 얼마나 가까운지를 백분율로 나타낸다.

조각 수 N

끌면 회전하고, 버튼은 조각 수(N)를 바꾼다.

P점의 전기장 E (조각들의 합)

E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · 미소장의 합

dq = λ dl = σ dA = ρ dV · 선·면·부피 밀도

수렴도 · 70%

거친 근사

점에서 분포로

점전하 하나가 만드는 전기장은 EM-03에서 보았다. 전하가 막대나 판처럼 이어져 퍼져 있으면, 그것을 수많은 점전하 조각으로 보면 된다. 조각 하나가 만드는 미소 전기장은 dE = k dq/r² r̂다. 전체 장은 이 미소장을 모두 더한 것이고, 한없이 잘게 쪼개서 하는 그 덧셈이 곧 적분이에요.

관찰dE = k dqr² r̂

조각 하나는 점전하처럼 dE를 만들어요.

조각의 전하 dq

조각 하나의 전하 dq는 전하 밀도에 그 조각의 크기를 곱한 값이다. 선전하는 dq = λ dl, 면전하는 dq = σ dA, 부피전하는 dq = ρ dV다. 여기서 dl, dA, dV는 EM-01에서 고른 미소 요소이므로, 대칭에 맞는 좌표계를 고르면 이 적분도 깔끔해져요.

고르기dq = ?

선전하 조각의 전하는 선밀도에 길이를 곱한 값이에요.

합이 적분이 된다

막대를 N개로 나누면 미소장 N개를 벡터로 더한 값이 근삿값이 된다. N을 키워 조각을 한없이 잘게 만들면 합은 하나의 값으로 모이고, 그 극한이 적분 E = ∫ k dq/r² r̂다. 전기장은 벡터이므로 실제 계산에서는 성분마다 따로 적분한다. 그림의 막대에서는 조각을 넷으로만 나눠도 수렴도가 거의 백 퍼센트에 이르는데, 조각이 작을수록 각 조각을 점전하로 보는 근사가 잘 맞기 때문이에요.

빈칸E = ?

적분은 미소장을 한없이 잘게 나눠 모두 더한 것이에요.

스스로E = ?

전체 장은 모든 조각의 dE를 적분한 값이다.

방향도 함께 더해진다

미소장 dE는 벡터라서 크기와 함께 방향도 더해진다. 대칭이 있으면 일부 성분은 서로 지워진다. 아주 긴 직선 전하의 한가운데 옆에서는 막대 방향 성분이 모두 상쇄되고 수직 성분만 남아 답이 간단해진다. 그림의 P점은 막대 끝보다 바깥쪽에 있어 그런 상쇄가 없고, 여러 방향 성분이 모두 남아요. 적분을 시작하기 전에 어떤 성분이 살아남는지 먼저 따져 보는 것이 요령이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 조각이 하나일 때는 막대를 가운데 점 하나로 본 셈이라 화살표가 방향부터 빗나갔다. 조각을 늘리자 미소장 dE들이 머리에서 꼬리로 이어지며 합이 한 방향, 한 크기로 모였다. 그 수렴값이 적분 E = ∫ k dq/r² r̂다. 적분이란 결국 잘게 쪼갠 점전하들이 만드는 장을 빠짐없이 더하는 일이에요.

연속 전하의 전기장은 분포를 수많은 점전하 조각 dq로 쪼개 각 조각의 미소장 dE = k dq/r² r̂를 벡터로 적분한 것이다. E = ∫ k dq/r² r̂이고, 조각의 전하는 dq = λ dl(선), σ dA(면), ρ dV(부피)다.

이어지는 길

직접 적분하는 방법은 어떤 분포에도 통하지만 손이 많이 간다. 대칭이 좋은 분포에는 더 빠른 길이 있다. 전기장이 닫힌 면을 얼마나 지나가는지 세는 선속과 발산(EM-05), 그리고 가우스 법칙(EM-06)으로 가면 대칭 분포의 장을 적분 없이 구할 수 있어요.