가우스 법칙

면을 키워도 선속은 그대로다

철망처럼 그린 공이 점전하를 감싼 가우스 면이다. 슬라이더로 면을 키우면 면에서의 장은 1/R²로 약해지지만 면의 넓이는 R²로 커져서, 둘을 곱한 알짜 선속은 표시기에서 그대로 머문다. 버튼으로 전하를 면 밖으로 빼면 알짜 선속은 사라져요.

가우스 법칙이란

EM-05에서 닫힌 면의 알짜 선속 ∮E·dA을 정의했다. 가우스 법칙은 이 값이 면 안에 든 전하에만 비례한다고 말하고, 식으로는 ∮E·dA = Q_enc/ε₀다. 비례상수는 진공의 유전율 ε₀다. 면을 어떻게 잡든 같은 전하를 감싸기만 하면 같은 선속이 나와요.

면의 모양·크기와 무관

점전하를 감싼 공의 반지름을 두 배로 키우면 면에서의 장은 1/4로 약해지지만 넓이는 4배가 된다. 둘을 곱한 선속은 변하지 않는다. 찌그러진 면이든 정육면체든 마찬가지여서, 같은 전하를 감싸기만 하면 알짜 선속은 늘 Q/ε₀다. 선속을 면을 뚫고 나가는 장선의 수로 그려 보면, 그 수는 전하가 정하고 면의 모양은 상관없다는 뜻이에요.

바깥 전하는 셈에 안 든다

전하가 면 밖에 있으면, 그 전하의 장선은 면의 한쪽으로 들어왔다가 다른 쪽으로 그대로 빠져나간다. 들어온 만큼 나가므로 알짜 선속은 0이다. 그래서 가우스 법칙은 면 안에 갇힌 전하만 센다. 바깥에 아무리 큰 전하가 있어도 알짜 선속에는 보태지지 않는다. 다만 면 위 각 점의 장 E 자체는 바깥 전하의 영향을 받으므로, 대칭이 깨지면 법칙은 맞아도 E를 바로 구할 수는 없어요.

대칭이면 적분 없이 E

대칭이 좋으면 가우스 법칙이 지름길이 된다. 점전하나 고르게 대전된 공 둘레에 같은 중심의 가우스 공을 두면, 장이 면 위에서 크기가 일정하고 면에 수직이라 적분이 E·(4πr²)로 곧장 풀린다. 여기서 E = Q/(4πε₀r²)이 나오는데, 바로 EM-03의 쿨롱 장이다. 무한 직선이면 원통, 무한 평면이면 상자 모양의 면을 고르면 되고, EM-01에서 익힌 대칭에 맞는 면 고르기가 열쇠예요.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 가우스 면을 키워도 알짜 선속은 꿈쩍하지 않았다. 면에서의 장이 1/R²로 약해진 만큼 넓이가 R²로 커져 정확히 상쇄되었기 때문이다. 전하를 면 밖으로 빼자 선속은 0으로 떨어졌는데, 들어온 장선이 모두 다시 빠져나갔다는 뜻이다. 결국 닫힌 면의 알짜 선속을 정하는 것은 면의 크기나 모양이 아니라 그 안에 갇힌 전하뿐이에요.

가우스 법칙은 지금 면적분, 곧 적분형으로 쓰여 있다. 다음 유닛의 발산정리(EM-07)는 이 면적분을 부피적분으로 바꿔 한 점에서 성립하는 미분형 ∇·E = ρ/ε₀을 끌어낸다. 이것이 맥스웰 방정식의 첫 번째다. 적분형은 대칭이 있는 문제에, 미분형은 장의 국소 구조를 볼 때 쓰여요.