波、粒子，以及用概率看见的量子世界

一个个到达的点最终拼出干涉条纹；一旦观测路径，条纹消失变回粒子。德布罗意波长 λ = h/p。

波函数 ψ 本身看不见，但它的平方 |ψ|² 就是在何处发现粒子的概率密度。总面积归一化为 1。

被困在盒中的波只允许两端为零的驻波；只有整数个半波长能放下，于是能量离散，Eₙ = n²π²ℏ²/2mL²。

收窄位置，动量就扩散；窄波包是许多波数之和，所以乘积不能低于 Δx·Δp ≥ ℏ/2。

即使在经典上无法越过的墙内，波函数也不为零，而是指数衰减，于是以透射概率 T 渗到墙的另一侧。

测量之前，状态以 α|↑⟩ + β|↓⟩ 的形式叠加共存；测量使其坍缩为一个结果，概率为 |α|² 与 |β|²。

轨道是把 ψ 拆成径向部分 R(r) 与角向部分 Y(θ,φ) 的概率云；只有 n, l, mₗ 决定形状。这里以 2D 截面来看。

把粒子关进柔和的抛物线山谷而非硬盒子，能级阶梯就以 ℏω 均匀间隔，而不是像 n² 那样越挤越密。基态也不为零。Eₙ=(n+½)ℏω。

当墙壁是有限高而非无限高时，束缚能级只有少数几个，波函数会指数式地渗入墙内。势阱越深，能级越多。

单个平面波以相速度行进，但真实粒子是许多波数的波包，以群速度 v_g=ℏk/m 移动并扩散。对物质波 v_g=2v_p。

单个能量定态只让相位 e^(−iEt/ℏ) 旋转，|ψ|² 保持不动；可一旦叠加两个能量，概率就以拍频 ω=(E₂−E₁)/ℏ 来回晃动。

位置、动量、能量这些可观测量各自是一个算符。测量给出一个本征值，多次测量的平均就是期望值 ⟨A⟩=∫ψ*Âψ dx。

因为原子的能级离散，电子在能级间跳跃时恰好放出一种颜色的光子 E=hf=Eᵢ−E_f。于是每种元素都有自己独特的线状光谱。

让中性原子束穿过不均匀磁场，与经典预期相反，它分裂成恰好两个点，而不是连续的带。因为自旋量子化为 S_z=±½ℏ。