自由粒子以群速度移动并扩散
不被束缚的自由粒子没有像盒子那样一格一格的能量阶梯。相反，任何波数 k 都被允许，每个平面波都以色散关系 ω(k) = ℏk²/2m 振荡。于是出现了一件奇妙的事。波峰以相速度 vp 缓缓漂移，而粒子真正移动的速度却是它的两倍，即群速度 vg。而且随着时间推移，原本紧凑的波包会逐渐扩散。让我们依次用眼睛追踪波峰、波包、色散曲线和扩散。
先看单个平面波。Re(ψ) = cos(kx − ωt) 是无尽重复的涟漪。用 k 滑块改变涟漪的密集程度，用时间滑块让波峰向前行进。这里 k = 2π/λ 是波数。波峰漂移的速度读作相速度 vp = ℏk/2m。增大 k，波峰跑得更快。
这次把几个相近 k 的余弦相加，合成一个波包。让时间流逝，两个速度便分开。标记的一个波峰以相速度 vp 缓慢前行，而整个波包的峰却以两倍的群速度 vg 抢先。你能看到峰超越波峰。对物质波，vg = 2vp 始终成立，粒子真正移动的速度就是群速度。
两个速度的身份全藏在色散曲线 ω(k) = ℏk²/2m 里。这个 ω(k) 是把频率与波数相连的色散频率，既不是振子的 ω，也不是拍频。沿曲线拖动那个点。该点切线的斜率 dω/dk 就是群速度 vg，从原点到该点的弦的斜率 ω/k 就是相速度 vp。因为是抛物线，切线总比弦陡两倍，读数便证实 vg = 2vp。
自由粒子即使无人打扰，随时间也会扩散。推动时间滑块，|ψ(x,t)|² 会越来越宽、越来越平。这是因为色散曲线是弯的，也就是 d²ω/dk² = ℏ/m 不为零。初始波包做得越窄，扩散得越快。这恰好与不确定性相连：把位置压窄，动量就变宽。
最后把自由粒子和盒子并排看。自由粒子允许任何 k，所以 E(k) = ℏ²k²/2m 是一条不间断的连续曲线。相反，被束缚的盒子只允许 E ∝ n² 的稀疏阶梯。用开关切换，差别就很清楚：自由是平滑的连续，盒子是离散的台阶。束缚使其量子化，释放使其连续。