自由粒子 波包

先看一列平面波。Re(ψ) = cos(kx − ωt) 是没有尽头的波纹。用 k 改变波纹的疏密，用时间把波峰往前送。这里 k = 2π/λ 是波数。波峰流动的速度读成相速度 v_p = ℏk/2m，加大 k，波峰跑得更快。

把相近 k 的余弦加起来，做成一个波包。让时间流过，两个速度就分开。标出的波峰以相速度慢慢走，整个波包的峰以两倍的群速度 v_g 走在前面。能看见峰超过波峰。物质波里总是 v_g = 2v_p，粒子真正挪动的速度是群速度。

两个速度的来历都在色散曲线 ω(k) = ℏk²/2m 里。这个 ω(k) 是把频率绑到波数上的色散频率，不是振子的 ω，也不是拍频。挪动曲线上的点，切线的斜率是群速度 v_g，从原点到那一点的斜率是相速度。因为是抛物线，切线总比那条直线陡一倍，于是确认 v_g = 2v_p。

自由粒子即使不动，时间过去也会铺开。|ψ(x,t)|² 随着时间被推远而变宽变平。因为色散曲线是弯的，也就是 d²ω/dk² = ℏ/m 不是 0。一开始把波包做得越窄，铺开得越快。把位置收窄，动量就变宽，这和不确定连在一起。

把自由粒子和箱子并排放。自由粒子允许任何 k，所以 E(k) = ℏ²k²/2m 是一条不断的连续曲线。被关住的箱子只允许分开的梯子 E ∝ n²。切换两者，自由是光滑的连续，箱子是离散的台阶，差别就清楚。一关就量子化，一放就连续。