波函数的平方就是概率
自然把粒子在哪里写成波函数 ψ(x)。但 ψ 本身可以是负的，而且无法直接测量。我们真正观测到的是它的平方 |ψ(x)|²，那就是在 x 处发现粒子的概率密度。在第一幅图里，我们先看 ψ 在零上下摆动的样子。
ψ 是本课首次出现的符号，是记录粒子状态的波函数。这个 ψ(x) 是高斯包络里摆动的余弦，会变正、也会沉到负值。拖动滑块移动中心，形状会跟着走，但要记住负的部分不是测量值，只是一个振幅。正因为 ψ 能像这样摆到负值，两个波相遇时甚至会彼此抵消，这是始终为正的经典概率无法模仿的、量子独有的特征。
现在画出 |ψ(x)|²，也就是同一个 ψ 的平方。平方把每一个负的谷都翻成正的峰。拖动同样的中心，这条曲线也跟着走，但绝不会低于零。符号消失了，剩下的这团始终为正的隆起，就是概率密度。这条通过平方得到概率的规则由马克斯·玻恩提出，后来成为量子力学的标准诠释，因此被称为玻恩规则。
概率密度曲线下的面积就是真正的概率。两个滑块设定区间的左端 a 和右端 b，它们之间被填充的面积读作 P(a ≤ x ≤ b)。窗口窄则概率小，宽则概率大。面积直接告诉你在该区间发现粒子的可能性。若对同样制备的粒子测量无数次，在该区间被发现的比例正好收敛到这块面积，于是概率成为可由实验确认的数值。
现在把两个形状相同的波相加，只用滑块改变它们的相对相位。相位为 0 时彼此增强，|ψ|² 隆起；接近 π 时相互抵消，变得平坦。每一片单看都一样，可合成后的概率却随相位改变。相位在单个 |ψ|² 里看不见，却主宰着干涉。两条路径的相对相位显现为明暗条纹，这正是双缝干涉，所以相位虽看不见，却在实验中留下清晰的痕迹。
粒子一定在某处，所以 |ψ|² 的总面积必须始终为 1。移动把 ψ 乘以系数 c 的滑块，|c·ψ|² 的总面积就按 c² 增大或缩小。在让面积恰好为 1 的那个 c 处，图会被高亮。像这样把总概率调到 1，就是归一化。一旦调到 1，即便时间流逝、波在移动和铺开，总面积也始终守恒为 1，所以粒子绝不会突然消失。