波函数 概率密度
粒子在哪里，自然用波函数 ψ(x) 写下来。ψ 本身可以是负的，也不能直接测量。我们看到的是它的平方 |ψ(x)|²，那就是在那个地方找到粒子的概率密度。第一张图从 ψ 上下起伏开始。起伏先被看见。
ψ 是这一讲第一次出现的符号，是写下粒子状态的波函数。高斯包络里面余弦起伏，看 ψ(x)，值先是正的，然后降到负的。挪动中心，形状跟着走，负的那一段不是测量值，而是振幅。ψ 必须走到负的一边，两列波才能相遇相消，永远为正的经典概率模仿不了这种相消。有了负的振幅，相消才可能。
现在画同一个 ψ 的平方 |ψ(x)|²。平方之后，原来为负的谷全部翻成正的峰。挪动同一个中心，这条曲线也跟着走，而且绝不降到 0 以下。符号消失后留下的正的一团，就是概率密度。用平方得到概率的规则是玻恩提出的，成了标准解释，所以叫做玻恩规则。峰就是发现的地方。
概率密度曲线下面的面积才是真正的概率。定下区间的左边和右边，中间涂色的面积读作 P(a ≤ x ≤ b)。区间收窄，概率就小，放宽，概率就大。面积说出在这段里找到粒子的可能。把同样准备的粒子反复测量，在这段里被找到的比例会聚到这块面积，概率就成了实验能够核对的值。面积就是那份可能。
把形状相同的两列波相加，只改变相对相位。相位是 0，两者加强，|ψ|² 鼓起来。靠近 π，两者抵消，曲线变平。两段分开看是一样的，合起来的概率却随相位改变。只看一个 |ψ|²，相位看不见，可它左右干涉。两条路径的相对相位变成亮纹和暗纹，就是双缝干涉，所以相位看不见，也在实验里留下痕迹。相位只作为花纹留下。
粒子总得在某处，所以 |ψ|² 的整块面积必须一直是 1。给 ψ 乘上倍率 c，|c·ψ|² 的总面积就按 c² 变大或变小。面积刚好是 1 的地方，图会被强调。把总概率配成 1，就是归一化。一旦配成 1，时间过去，波移动、铺开，整块面积仍然是 1，粒子不会突然消失。面积被保住，粒子一直在图里的某处。