量子谐振子
把粒子放进柔软的碗 V(x) = ½ m ω² x²，而不是硬墙之间。箱子里能级按 1, 4, 9, 16 那样越往上越拉开，这里档距从第一档到最后一档都是 ΔE = ℏω。能级是 Eₙ = (n + ½)ℏω，横档均匀排开。第一张图把碗 V(x) 和上面均匀的梯子放在一起，改变刚度，看两者怎样一起动。
改变碗 V(x) = ½ m ω² x² 的刚度 ω。这个 ω 是振子的角频率，和经典简谐运动 (SHM) 里的 ω 是同一个量。加大 ω，碗变窄变陡，上面的梯子一起拉开。横档始终放在 ΔE = ℏω，那个值标在旁边。和箱子的 1, 4, 9, 16 不同，档距不会挤在一起。
看每一档带着怎样的波函数 ψₙ(x)。Hₙ 是厄米多项式，和哈密顿量 H 不是同一个量。ψₙ 是高斯峰乘上 Hₙ(x)，所以第 n 个状态恰好有 n 个节点 (node)。把 n 从 0 升到 4，峰在碗里起伏，节点一个一个增加。
升到高档，就看见量子和经典在哪里相遇。经典振子在端点附近变慢、停留得久，所以待在那里的概率按 ∝ 1/√(xmax² − x²) 最大。升高 n，量子 |ψₙ(x)|² 的峰就沿着这条经典曲线走。n 小的时候两者差得远，n 大的时候概率堆在两端，几乎重叠。这就是对应原理。
同一个粒子，不同的碗，并排放着比。箱子是硬墙，所以 Eₙ ∝ n²，档像 1, 4, 9, 16 那样越往上越拉开。谐振子是柔软的碗，所以 Eₙ = (n + ½)ℏω，间距 ΔE = ℏω 一直相同。交替看两架梯子，碗的形状怎样定间距就一眼看见。
仔细看底态 n=0。没有节点的高斯峰，能量却不是 0，而是 E₀ = ½ℏω。这就是零点能，最安静的状态也不能完全停下。改变 ω，峰的宽度会变，但 E₀ = ½ℏω 始终留在第一档一半的高度，碰不到 0。只要关着，底能量就不能是 0。