谐振子的能级间隔均匀
把一个粒子放进的不是硬墙，而是一只柔软的碗形势 V(x) = ½ m ω² x²。在箱子里能量台阶往上越来越密，像 1、4、9、16，可这里恰好相反：从底到顶间距始终保持为 ΔE = ℏω 不变。能级是 Eₙ = (n + ½)ℏω，所以阶梯横杆以恒定间隔一路排开。第一幅图里我们一起看碗形 V(x) 和坐落其上的等间距能量阶梯，并观察调节劲度 ω 时两者如何一同变化。
用滑块改变碗形 V(x) = ½ m ω² x² 的劲度 ω。这里的 ω 是振子的角频率，与经典简谐运动(SHM)中用的那个 ω 是同一个量。把 ω 调大，碗就变窄变陡，坐在其上的能量阶梯也随之上下伸缩。横杆始终以恒定间隔 ΔE = ℏω 排列，其值在旁边显示。和箱子的 1、4、9、16 不同，间距永远不会挤密。
现在看每个阶梯横杆带的是哪个波函数 ψₙ(x)。这里 Hₙ 是埃尔米特多项式(带下标的多项式)，与共用同一字母的哈密顿量 H 是不同的量。ψₙ 是一个高斯峰乘以 Hₙ(x)，所以第 n 个状态恰好有 n 个节点(node)。用步进器把 n 从 0 升到 4，你会看到峰在碗中起伏，每次多出一个节点。
爬到高阶横杆，看量子与经典如何相遇。经典振子在端点(转折点)附近变慢并久留，所以在那里被找到的概率最大，按 ∝ 1/√(xmax² − x²) 变化。用滑块升高 n，量子 |ψₙ(x)|² 起伏的峰会越来越贴着这条浴缸形的经典曲线。n 小时两者差别很大，但 n 大时概率在两个转折点附近堆积，几乎重合。这就是对应原理。
同一个粒子，不同的碗。把两座阶梯并排比较。箱子是硬墙，所以 Eₙ ∝ n²，台阶像 1、4、9、16 一样往上越拉越快。谐振子是柔软的抛物碗，所以 Eₙ = (n + ½)ℏω，间距一路保持为 ΔE = ℏω。用开关在两座阶梯间切换，势的形状如何决定能级间距便一目了然。
仔细看基态 n=0。它是一个完全没有节点的简单高斯峰，但能量不是零，而是 E₀ = ½ℏω。这就是零点能：即使最平静的状态也永远无法完全停下。用滑块改变 ω，峰会变宽或变窄，但 E₀ = ½ℏω 始终停在第一格高度的一半，永远不触及零。只要被束缚，基态能量就不可能为零。