位置与动量不能同时都精确
你越想把粒子钉在一个点上，它的动量就越发模糊。把位置的展宽叫做 Δx，把动量的展宽叫做 Δp；二者像跷跷板，挤压一边就拉伸另一边。对于高斯波包，这个乘积会降到底，达到 Δx·Δp = ℏ/2，而且绝不会更低。第一幅图我们从空间中一个小小的隆起开始。
位置明确的粒子，是空间里一个小小的隆起。我们画出高斯波包的概率密度 |ψ(x)|²，用滑块改变它的宽度 σ。减小 σ，隆起又窄又高；增大 σ，它又宽又低地铺开。面积始终固定为 1，所以越窄就越高。若把宽度缩到接近 0 以造出一个完美的点，隆起就会无限拔高而变得物理上不可能，这正是位置无法被无限收窄的第一个信号。
同一个 σ 同时决定位置展宽 Δx 和动量展宽 Δp。对高斯波包，Δx 正比于 σ，而 Δp 正比于 1/σ，即 ℏ/(2σ)。用滑块把 σ 调小，Δx 柱缩短，但 Δp 柱按同样的比例升高。两条柱的乘积 Δx·Δp 始终停在同一个值上。一个 σ 之所以能同时定下两种展宽，是因为位置与动量本是同根而生的一对，这和声音越短其音高越模糊的现象是完全相同的此消彼长。
用一行写出，这个极限就是海森堡关系 Δx·Δp ≥ ℏ/2，其中 ℏ = h/2π 是约化普朗克常数。画出边界曲线 Δp = ℏ/(2Δx) 并把它下方涂上颜色：点可以落在曲线上或其上方，却绝不会进入下方被填充的带子。高斯波包恰好落在那条边界线上。这个极限并非因为测量笨拙，而是自然设定的底线，所以电子无法完全落入原子核、原子不会坍缩的原因也正在于此。
为什么挤压会让动量变模糊？一个尖锐局域的隆起，是把许多波数的平面波相加得到的。用滑块增大相加的波数 N。只有一个时，是无尽重复的波，没有位置；加得越多，它们只在 x = 0 附近彼此增强，便出现尖锐的隆起。要把它紧紧束住，就需要那么多的波数。相加的波数散布得越宽，就意味着动量散布得越宽，所以在造出窄隆起的那一刻，动量的模糊也随之一同到来。
位置描述与动量描述，是看同一个粒子的两种语言，由傅里叶变换配成一对。左图是位置空间的高斯，右图是动量空间的高斯，二者的宽度互为倒数。减小 σx，左边变窄，右边就展宽到 σp = 1/(2σx)。把一边变精确就让另一边变模糊，原因正是这个倒数关系。宽度互为倒数的这一傅里叶对关系并非量子独有，而是一切波都具备的性质，正因自然把粒子也写成了波，不确定性才成为物质的根本法则。