一旦被束缚，能量就变得离散
把一个粒子束缚在长度为 L 的箱子 [0, L] 里。波函数必须在两面墙处都为零，所以不是任何波都能进去，只有两端被钉住的驻波才能存活。这意味着只有半波长恰好装下整数个的形状才被允许，能量也只能取离散的值。在第一幅图里，我们改变 n，一起看箱中的驻波 ψₙ(x)。
在箱子的两面墙处 ψ 必须为零。所以唯一被允许的形状，就是两端被钉为零的驻波，例如 ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L)。把 n 依次切到 1、2、3、4，你会看到每次多出一个节点(node)。第 n 个状态内部有 n-1 个节点，两端被钉在墙上。
现在把每个驻波携带的能量画成阶梯。这里首次出现的能量记作 Eₙ(能级)，下标 n 告诉你是第几级。它与电场 E 共用字母 E，却是不同的量：一个离散的能级。因为 Eₙ ∝ n²，台阶按 1、4、9、16 的比例排列，选择 n 会高亮那一横杆。往上爬时，你能看到间距越来越宽。
为什么只有整数？箱中必须恰好装下整数个半波长。第 n 个状态装入 n 个半波，所以波长固定为 λₙ = 2L/n。拖动滑块改变半波个数，只有在整数时才能形成两端为零的形状。边界条件把 λ 量子化，一旦 λ 被定下，能量也随之量子化。
最低的状态 n=1 称为基态。它是没有任何节点的最简单的单峰，但能量不是零，而是一个最小值 E₁。这叫零点能。把箱宽 L 滑小，因为 E₁ ∝ 1/L²，箱子越窄基态能量就上升得越快。用 ℏ = h/2π，E₁ = π²ℏ²/(2 m L²)，所以束缚迫使能量永远不能为零。
最终，单一整数 n 一次性确定一切。选定 n，你就同时定下波形峰的个数、节点数(n-1)以及能量 Eₙ ∝ n²。用步进器把 n 上下调，看这三个读数同步变化。一个整数为每个被允许的状态命名，这个整数就叫量子数。