量子力学

一维无限深势阱

被困在盒中的波只允许两端为零的驻波；只有整数个半波长能放下，于是能量离散，Eₙ = n²π²ℏ²/2mL²。

把粒子关进箱子 [0, L]。壁上波函数必须是 0，所以任意的波进不去，只留下两端被拴住的驻波。半波长要整数次放进去的形状才被允许，能量也只能取分开的值。第一张图里改看箱子中的 ψₙ(x)。关住这件事把值拆开。

两面墙上 ψ 必须是 0。允许的形状只有 ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L)，两端为 0 的驻波。把 n 升过 1, 2, 3, 4，节点 (node) 就一个一个增加。第 n 个状态里面有 n-1 个节点，两端拴在墙上。

把每个驻波的能量看成梯子。这里的能量是 Eₙ，也就是能级，下标说出是第几档。它和电场的 E 不是同一个量，这是分开的能级。因为 Eₙ ∝ n²，档按 1, 4, 9, 16 的比例拉开，选中 n 那一档就被强调。越往上，间隔越宽。

为什么只允许整数。箱子里半波长必须整数次正好放进去。第 n 个状态有 n 个半波长，所以波长定为 λₙ = 2L/n。改变半波长的个数，两端为 0 的形状只在整数时出现。边界条件把波长量子化，波长一定，能量也跟着量子化。

最低的 n=1 叫做基态。没有节点的简单鼓包，能量却不是 0，而带着最小值 E₁。这就是零点能。把箱子宽度 L 收窄，E₁ ∝ 1/L²，箱子越窄底抬得越快。用 ℏ = h/2π 就得到 E₁ = π²ℏ²/(2 m L²)，关得越紧，能量越不能变成 0。

一个整数 n 一次定下全部。定下 n，鼓包的数目、节点的数目 (n-1)，以及能量 Eₙ ∝ n² 就一起定下。把 n 升降，三个值一起动。一个整数给每个允许的状态起名，所以叫做量子数。

实际应用把粒子关进箱子 [0, L]，只留下两端为 0 的驻波。半波长必须整数次放进去，能量就变成分开的 Eₙ = n²π²ℏ²/(2 m L²)。就连基态 E₁ 也不是 0，而是零点能，箱子越窄越按 1/L² 变大。一关就量子化，一个量子数 n 同时定下波形和能量。