有限深方势阱
无限箱子里墙无限高，驻波可以随便往上堆。现实的阱深度 V0 是有限的。于是能关在里面的状态，也就是能量 E 落在 −V0 和 0 之间的状态，数目是有限的。波函数按 e−κ|x| 渗到墙外。κ 和隧穿那一讲的衰减常数是同一个量，束缚态的 E 小于 0。第一张图改变深度，看梯子的档出现又消失。
深度 V0 和半宽 a 一起定下的无量纲数是强度 z0 = a·√(2 m V0)/ℏ。束缚态的数目大约是 1 + floor(z0 / (π/2))，再浅也至少有一个。加大 V0，每当 z0 越过 π/2 的倍数，阱里就冒出一条新横档。图把阱壁和里面的能级线画在一起。
靠近看一个束缚态的形状。阱里以波数 k = √(2 m (E + V0))/ℏ 振荡，墙外按 e−κ|x| 平滑地减弱。κ = √(−2 m E)/ℏ，因为 E 小于 0，所以定义良好。把 E 拉近 0，也就是把阱变浅，尾巴更胖，伸得更远。粒子渗进经典上到不了的区域。
允许的能量是怎么出来的。偶态是 k·tan(ka) = κ，奇态是 −k·cot(ka) = κ，这是超越方程。用图来解。把半径 z0 的四分之一圆和 tan、−cot 的分支叠在一个平面上，交点就是允许的能量。加大 z0，四分之一圆变大，交点变多。
慢慢移动 E，让它经过 0。E 小于 0 的时候，两边的尾巴减弱，是束缚态，粒子留在阱里。E 越过 0 变成正的，就不再被关住，变成向两边无限伸展的散射态。那时能量不再分开，而是连续的。E < 0 是离散谱，E > 0 是连续谱。
最后把阱越挖越深。加大 V0，κ 变大，尾巴很快消失，里面的波形接近两端为 0 的无限箱子的 sin 形状。能量梯子也走向无限箱子的 Eₙ ∝ n²。把无限箱子的结果叠在有限阱的波形上，V0 → ∞ 回到熟悉的箱子，一眼就看见。