有限深势阱只容得下少数束缚态
在无限深箱中墙壁无限高，所以你能无限地堆叠驻波。但现实的势阱深度 V0 是有限的。于是能被困在内部的状态(能量 E 落在 −V0 与 0 之间的状态)的个数，就成了一个固定的有限数。而且波函数会像 e−κ|x| 那样渗到墙外。这里的 κ 与你在隧穿那一讲见过的衰减常数是同一个量，束缚态的 E 小于零。在第一幅图里，我们改变深度，看阶梯的横档如何出现又消失。
由深度 V0 与半宽 a 共同确定的一个无量纲数，就是强度 z0 = a·√(2 m V0)/ℏ。束缚态的个数约为 1 + floor(z0 / (π/2))，而且无论多浅都至少有一个。用滑块增大 V0，每当 z0 越过 π/2 的倍数，势阱里就会冒出一条新横档。图中把势阱的墙壁与位于其内的能级线一起画出。
仔细看一个束缚态的形状。在势阱内它以波数 k = √(2 m (E + V0))/ℏ 振荡，但在墙外则按 e−κ|x| 平滑地衰减。这里 κ = √(−2 m E)/ℏ，因为 E 小于零所以良好定义。把 E 拉向零(把势阱变浅)，尾巴就变胖并伸得更远。粒子渗入了一个经典上它绝不可能进入的区域。
被允许的能量是怎么得到的呢？偶态满足 k·tan(ka) = κ，奇态满足 −k·cot(ka) = κ，这是你必须求解的超越方程。我们用图来解。把半径为 z0 的四分之一圆与 tan、−cot 的分支叠在同一平面上，它们相交的点就正是被允许的能量。用滑块增大 z0，四分之一圆变大，交点的个数随之增多。
让 E 慢慢移动越过零。当 E 小于零时，你得到一个两侧尾巴衰减的局域束缚态，是停留在势阱中的粒子。但一旦 E 升过零变为正，它就不再被困住，而成为向两侧无限延伸的振荡散射态。这时能量不再离散，而是连续的。所以 E < 0 是离散谱，E > 0 是连续谱。
最后，把势阱挖得越来越深。增大 V0 会让 κ 变大，于是尾巴迅速消失，阱内的波形趋近于两端为零的无限深箱的 sin 形状。能级阶梯也趋近无限深箱的比例 Eₙ ∝ n²。图中把无限深箱的结果叠在有限阱的波形上，于是你一眼就能看到 V0 → ∞ 的极限如何回到熟悉的箱子。