可观测量是算符，平均值是期望值
在量子力学中，位置、动量、能量等每一个可观测量，都是作用在波函数上的算符。位置是直接相乘的 x̂，动量读取斜率 p̂ = −iℏ d/dx，能量则是哈密顿量 H。一次测量给出该算符的一个本征值，而多次测量的平均就是期望值 ⟨A⟩ = ∫ψ*Âψ dx。算符之间不对易的程度，也就是 [x̂, p̂] = iℏ，正是不确定性的结构性根源。我们先在第一幅图里看看 ⟨x⟩ 究竟是什么。
对可观测量求平均，就是用概率密度 |ψ|² 取加权平均。位置的期望值是 ⟨x⟩ = ∫ x|ψ|² dx，即隆起的质心。用滑块移动隆起或使它偏向一侧，⟨x⟩ 标记随之移动，而宽度 σ 的带子显示结果在该平均值周围展开多宽。这里 σ = √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²)。
动量不住在波函数的大小里，而住在它相位的斜率里。拖动乘上平面波相位 eik0x 的 k0 滑块：|ψ|²（填充曲线）丝毫不变，而动量的期望值却随之摆动为 ⟨p⟩ = ℏk0。这是因为动量算符 p̂ = −iℏ d/dx 读取的正是这个相位斜率。记住：位置住在大小里，动量住在相位里。
处在算符的本征态时，测量结果是确定的。单一能量本征态只有一根柱，每次都给出同一个本征值，展宽 σE = 0。用滑块混入第二个本征态，|c₁|², |c₂|² 两根柱按玻恩概率分开，于是出现分布。本征态意味着确定，混合意味着分布。
为什么某些对永远不能同时都精确？对同一个试探函数，先作用 x̂ 再作用 p̂，与先作用 p̂ 再作用 x̂，结果不同。逐步走过两种顺序，差异恰好留下为 [x̂, p̂]ψ = iℏ ψ。算符不对易的这一性质，正是不确定性的结构性根源。
平均值如何与经典力学相连？用时间滑块移动抛物势 V(x) 中的波包，平均位置 ⟨x⟩ 像经典小球一样左右往返。这就是埃伦费斯特定理：d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m 且 d⟨p⟩/dt = −⟨dV/dx⟩，于是期望值在平均意义上遵循经典运动方程。