量子算符 期望值
在量子力学里，位置、动量、能量这些观测量都是作用在波函数上的算符。位置是直接相乘的 x̂，动量是读斜率的 p̂ = −iℏ d/dx，能量是哈密顿量 H。测一次，就得到那个算符的一个本征值。测许多次的平均是期望值 ⟨A⟩ = ∫ψ*Âψ dx。算符的顺序换不过来的程度，也就是 [x̂, p̂] = iℏ，是不确定性的根。第一张图先看 ⟨x⟩ 是什么。
给观测量取平均，就是用概率密度 |ψ|² 做加权平均。位置的期望值是 ⟨x⟩ = ∫ x|ψ|² dx，也就是峰的重心。挪动峰或者把它往一边倾，⟨x⟩ 的标记就跟着走，宽度的带子显示结果在那个平均周围散开多少。那个宽度是 √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²)。
动量不在波函数的大小里，而在相位的斜率里。拨动乘上平面波相位 eik0x，再拨波数 k0，|ψ|² 一点不变，只有动量的期望值按 ⟨p⟩ = ℏk0 晃动。动量算符 p̂ = −iℏ d/dx 读的就是这个相位斜率。位置住在大小里，动量住在相位里。
处在算符的本征态里，测量结果是确定的。只有一个能量本征态，就只有一根棒，总是同一个本征值，展宽 σE = 0。混进第二个本征态，|c₁|²、|c₂|² 两根棒按玻恩概率分开，分布就出现了。本征态是确定，混合是分布。
为什么有些一对不能同时清楚。对同一个函数先作用 x̂ 再作用 p̂，和先作用 p̂ 再作用 x̂，结果不同。顺着两种顺序走，留下的差正好是 [x̂, p̂]ψ = iℏ ψ。算符不对易，就是不确定性的根。
平均怎样接上经典力学。在抛物线势 V(x) 里移动波包，平均位置 ⟨x⟩ 就像经典的球那样左右振动。这就是埃伦费斯特定理。d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m，而且 d⟨p⟩/dt = −⟨dV/dx⟩，所以期望值平均而言跟着经典运动方程走。