波と粒子、確率で見る量子の世界

一つずつ届く点が、やがて干渉縞をつくる。経路を観測すると縞は消えて粒子になる。ドブロイ波長 λ = h/p。

波動関数 ψ そのものは見えないが、その二乗 |ψ|² が、どこで見つかるかの確率密度になる。全体の面積は 1 に規格化される。

箱に閉じ込められた波は、両端がゼロの定常波だけが許される。整数倍の波長しか入らず、エネルギーは Eₙ = n²π²ℏ²/2mL² と飛び飛びになる。

位置を絞ると運動量が広がる。狭い波束は多くの波数の和なので、積は Δx·Δp ≥ ℏ/2 を下回れない。

古典的には越えられない壁の中でも、波動関数はゼロではなく指数的に減衰する。だから透過確率 T で壁の向こうへ漏れ出す。

測定の前は α|↑⟩ + β|↓⟩ のように複数の状態が重なっている。測定すると一つに収縮し、その確率は |α|²、|β|² だ。

軌道は ψ を動径部 R(r) と角度部 Y(θ,φ) に分けた確率の雲だ。形を決めるのは n, l, mₗ だけ。ここでは 2D 断面で見る。

硬い箱の壁ではなく、なめらかな放物線の谷に閉じ込めると、エネルギー階段は n² ではなく ℏω の等間隔になる。基底状態もゼロではない。Eₙ=(n+½)ℏω。

壁が無限ではなく有限だと、束縛準位はわずかしかなく、波動関数は壁の中へ指数的に染み出す。井戸が深いほど準位は増える。

一つの平面波は位相速度で進むが、実際の粒子は多くの波数の束で、群速度 v_g=ℏk/m で動いて広がる。物質波では v_g=2v_p。

一つのエネルギー定常状態は位相 e^(−iEt/ℏ) が回るだけで |ψ|² は止まっているが、二つのエネルギーを重ねると確率は唸り振動数 ω=(E₂−E₁)/ℏ で揺れる。

位置・運動量・エネルギーのような観測量はそれぞれ演算子だ。測定すると固有値が一つ出て、何度も測った平均が期待値 ⟨A⟩=∫ψ*Âψ dx になる。

原子のエネルギー準位が飛び飛びなので、電子が準位間を跳ぶとちょうど一色の光子 E=hf=Eᵢ−E_f が出る。だから元素ごとに固有の線スペクトルを持つ。

中性原子のビームを不均一な磁場に通すと、古典的な予想に反して連続した帯ではなくちょうど二つの点に分かれる。スピンが S_z=±½ℏ に量子化されているからだ。