量子調和振動子 わかりやすく
粒子を硬い壁ではなく柔らかい器 V(x) = ½ m ω² x² の中に入れます。箱ではエネルギーの段が 1, 4, 9, 16 のように上へ行くほど広がりましたが、ここでは段の間隔が最初から最後まで ΔE = ℏω で同じです。準位は Eₙ = (n + ½)ℏω で、横木が等間隔に並びます。最初の図は器 V(x) とその上の等間隔の梯子を並べ、剛性を変えると二つがどう一緒に動くかを見ます。
器 V(x) = ½ m ω² x² の剛性 ω を変えます。この ω は振動子の角振動数で、古典的な単振動 (SHM) の ω と同じ量です。ω を大きくすると器は狭く急になり、その上の梯子も一緒に伸びます。横木はいつも ΔE = ℏω に置かれ、その値が横に示されます。箱の 1, 4, 9, 16 と違い、段の間は決して詰まりません。
各段がどんな波動関数 ψₙ(x) を持つかを見ます。Hₙ はエルミート多項式で、ハミルトニアン H とは別の量です。ψₙ はガウスの山に Hₙ(x) を掛けた形なので、n 番目の状態は節 (node) をちょうど n 個持ちます。n を 0 から 4 まで上げると、山が器の中で揺れ、節が一つずつ増えます。
高い段へ上がると、量子と古典がどこで会うかが見えます。古典振動子は端の近くで遅くなって長くとどまるので、そこにとどまる確率は ∝ 1/√(xmax² − x²) で最も大きくなります。n を上げると量子 |ψₙ(x)|² の山々がこの古典曲線に沿います。n が小さいと二つは大きく違い、n が大きいと両端に確率が集まり、ほぼ重なります。これが対応原理です。
同じ粒子、違う器を並べて比べます。箱は硬い壁なので Eₙ ∝ n² で、段は 1, 4, 9, 16 のように上へ行くほど広がります。調和振動子は柔らかい器なので Eₙ = (n + ½)ℏω で、間隔は ΔE = ℏω で最後まで同じです。二つの梯子を交代で見ると、器の形が間隔をどう定めるかが一目で入ります。
底の n=0 を詳しく見ます。節のないガウスの山でも、エネルギーは 0 ではなく E₀ = ½ℏω です。これが零点エネルギーで、最も静かな状態さえ完全には止まりません。ω を変えると山の幅は変わっても、E₀ = ½ℏω は最初の段の半分の高さに残り、0 に触れません。閉じ込めている限り底のエネルギーは 0 になれません。