演算子 期待値 わかりやすく
量子力学では位置、運動量、エネルギーのような観測量は、波動関数に作用する演算子です。位置はそのまま掛ける x̂、運動量は傾きを読む p̂ = −iℏ d/dx、エネルギーはハミルトニアン H です。一度測るとその演算子の固有値が一つ出て、何度も測った平均は期待値 ⟨A⟩ = ∫ψ*Âψ dx です。演算子の順序が入れ替わらない度合い、つまり [x̂, p̂] = iℏ が不確定性の根です。最初の図は ⟨x⟩ が何かを見せます。
観測量を平均するとは、確率密度 |ψ|² で加重平均を取るということです。位置の期待値は ⟨x⟩ = ∫ x|ψ|² dx、つまり山の重心です。山を動かしたり一方へ傾けたりすると ⟨x⟩ の印が付き、幅の帯はその平均の周りで結果がどれほど散るかを見せます。その幅は √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²) です。
運動量は波動関数の大きさではなく、位相の傾きに入っています。平面波の位相 eik0x を掛け、波数 k0 を動かすと |ψ|² はそのままで、運動量の期待値だけが ⟨p⟩ = ℏk0 と揺れます。運動量演算子 p̂ = −iℏ d/dx がまさにこの位相の傾きを読むからです。位置は大きさに、運動量は位相に住みます。
演算子の固有状態にいると測定結果は確定します。一つのエネルギーの固有状態なら棒は一本だけで、いつも同じ固有値が出て広がりは σE = 0 です。二つ目の固有状態を混ぜると |c₁|²、|c₂|² の二本の棒がボルンの確率どおりに分かれ、分布ができます。固有状態は確定で、混ざりは分布です。
なぜある組は同時にはっきりできないのでしょう。同じ関数に x̂ を先に掛けて p̂ を掛けるのと、p̂ を先に掛けて x̂ を掛けるのでは結果が違います。二つの順序をたどると、その差が [x̂, p̂]ψ = iℏ ψ として残ります。演算子が交換しないというこの性質が不確定性の根です。
平均は古典力学とどうつながるのでしょう。放物線ポテンシャル V(x) の中の波束を動かすと、平均位置 ⟨x⟩ が古典の球のように左右へ振動します。これがエーレンフェストの定理です。d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m であり d⟨p⟩/dt = −⟨dV/dx⟩ なので、期待値は平均として古典の運動方程式に従います。