観測量は演算子であり、平均は期待値だ

観測量を平均するとは、確率密度 |ψ|² で重み付き平均をとることです。位置の期待値は ⟨x⟩ = ∫ x|ψ|² dx、すなわち山の重心です。スライダーで山を動かしたり片側へ傾けたりすると ⟨x⟩ の印が追従し、幅 σ の帯はその平均のまわりに結果がどれだけ広がるかを示します。ここで σ = √(⟨x²⟩ − ⟨x⟩²) です。

運動量は波動関数の大きさではなく、位相の傾きに宿ります。平面波の位相 e^ik0x を掛ける k0 スライダーを動かすと、|ψ|²（塗りつぶし曲線）は少しも変わらないのに、運動量の期待値だけが ⟨p⟩ = ℏk0 と揺れます。運動量演算子 p̂ = −iℏ d/dx がまさにこの位相の傾きを読むからです。位置は大きさに、運動量は位相に宿ると覚えましょう。

演算子の固有状態にあれば、測定結果は確定します。単一のエネルギー固有状態なら棒は一本だけで、いつも同じ固有値が出て、広がり σ_E = 0 です。スライダーで二つ目の固有状態を混ぜると、|c₁|², |c₂|² の二本の棒がボルン確率どおりに分かれ、分布が生じます。固有状態は確定、混合は分布です。

なぜある対は同時に明確になれないのでしょう。同じ試行関数に x̂ を先に、次に p̂ を作用させるのと、p̂ を先に、次に x̂ を作用させるのとでは結果が違います。二つの順序をステップでたどると、その差がちょうど [x̂, p̂]ψ = iℏ ψ として残ります。演算子が交換しないというこの性質こそ、不確定性の構造的な根です。

平均は古典力学とどうつながるのでしょう。放物線ポテンシャル V(x) の中の波束を時間スライダーで動かすと、平均位置 ⟨x⟩ が古典的なボールのように左右に振動します。これがエーレンフェストの定理です。d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m かつ d⟨p⟩/dt = −⟨dV/dx⟩ なので、期待値は平均として古典的な運動方程式に従います。