有限の井戸は束縛状態をわずかしか持たない
無限の箱では壁が無限に高く、定常波をいくらでも積み上げられました。しかし現実の井戸は深さ V0 が有限です。すると内部に閉じ込められる状態(エネルギー E が −V0 と 0 の間にある状態)の個数は、きっちり決まった有限の数になります。さらに波動関数は壁の向こうへ e−κ|x| のように漏れ出します。ここで κ はトンネル効果の講で見たあの減衰定数と同じ量で、束縛状態は E が 0 より小さいです。最初の図で、深さを変えながらはしごの段が現れたり消えたりするのを見ましょう。
井戸の深さ V0 と半幅 a が一緒に決める一つの無次元数が強度 z0 = a·√(2 m V0)/ℏ です。束縛状態の個数はおよそ 1 + floor(z0 / (π/2)) で、どんなに浅くても必ず最低一つはあります。スライダーで V0 を大きくすると、z0 が π/2 の倍数を越えるたびに井戸の中へ新しい段が一つずつ現れます。図は井戸の壁と、その中にあるエネルギー準位の線を一緒に描きます。
束縛状態一つの形をよく見ます。井戸の中では波数 k = √(2 m (E + V0))/ℏ で振動しますが、壁の外では e−κ|x| で滑らかに減衰します。ここで κ = √(−2 m E)/ℏ で、E が 0 より小さいのできちんと定義されます。E を 0 に近づける(井戸を浅くする)と、尾がより太くなり遠くまで伸びます。粒子は古典的には決して入れない領域へ漏れ出しているのです。
許されるエネルギーはどう出るのでしょう。偶状態は k·tan(ka) = κ、奇状態は −k·cot(ka) = κ という超越方程式を解かねばなりません。これを図で解きます。半径 z0 の四分円と tan, −cot の枝を一つの平面に重ねると、交わる点がそのまま許されるエネルギーです。スライダーで z0 を大きくすると四分円が大きくなり、交点の数が増えます。
E をゆっくり動かして 0 を通過させてみます。E が 0 より小さい間は両側の尾が減衰する局在した束縛状態で、井戸の中に留まる粒子です。しかし E が 0 を越えて正になると、もはや閉じ込められず、両側へ無限に伸びる振動する散乱状態になります。このときエネルギーはもう飛び飛びではなく連続です。つまり E < 0 は離散スペクトル、E > 0 は連続スペクトルです。
最後に井戸をどんどん深くしてみます。V0 を大きくすると κ が増え、尾が速く消え、井戸の中の波形は両端が 0 になる無限の箱の sin 形に近づきます。エネルギーのはしごも無限の箱の比 Eₙ ∝ n² に近づきます。図は有限井戸の波形に無限の箱の結果を重ねて示すので、V0 → ∞ の極限がどのようにおなじみの箱に戻るかが一目で分かります。