有限井戸型ポテンシャル わかりやすく
無限の箱では壁が限りなく高く、定常波をいくらでも積み上げられました。現実の井戸は深さ V0 が有限です。だから中に閉じ込められる状態、つまりエネルギー E が −V0 と 0 の間にある状態の数は有限に定まります。波動関数は壁の向こうへ e−κ|x| のように漏れます。κ はトンネルの講で見た減衰定数と同じ量で、束縛状態は E が 0 より小さいです。最初の図は深さを変え、はしごの段が現れたり消えたりするのを見せます。
深さ V0 と半幅 a が一緒に定める無次元数が強度 z0 = a·√(2 m V0)/ℏ です。束縛状態の数はおよそ 1 + floor(z0 / (π/2)) で、どんなに浅くても最低一つはあります。V0 を大きくすると、z0 が π/2 の倍数を越えるたびに井戸の中へ新しい段が一つずつ現れます。図は井戸の壁とその中の準位の線を一緒に描きます。
束縛状態一つの形を近くで見ます。井戸の中では波数 k = √(2 m (E + V0))/ℏ で振動し、壁の外では e−κ|x| で滑らかに弱まります。κ = √(−2 m E)/ℏ で、E が 0 より小さいのできちんと定義されます。E を 0 に近づけ、つまり井戸を浅くすると、尾はより太くなり遠くまで伸びます。粒子は古典では入れない領域まで漏れます。
許されるエネルギーはどう出るのでしょう。偶状態は k·tan(ka) = κ、奇状態は −k·cot(ka) = κ という超越方程式を解きます。図で解きます。半径 z0 の四分円と tan、−cot の枝を一つの平面に重ねると、交わる点が許されたエネルギーです。z0 を大きくすると四分円が大きくなり、交点の数が増えます。
E をゆっくり動かして 0 を通過させます。E が 0 より小さい間は両側の尾が弱まる束縛状態で、井戸の中にとどまる粒子です。E が 0 を越えて正になると、もはや閉じ込められず、両側へ限りなく伸びる散乱状態になります。そのときエネルギーは飛び飛びではなく連続です。E < 0 は離散スペクトル、E > 0 は連続スペクトルです。
最後に井戸をどんどん深くします。V0 を大きくすると κ が増え、尾が速く消え、中の波形は両端が 0 の無限の箱の sin 形に近づきます。エネルギーのはしごも無限の箱の Eₙ ∝ n² の方へ近づきます。有限井戸の波形の上に無限の箱の結果を重ねて見せるので、V0 → ∞ の極限がおなじみの箱へ戻るのが一目で入ります。