波動関数の二乗が確率だ
粒子がどこにあるかを、自然は波動関数 ψ(x) として書きます。しかし ψ そのものは負にもなり、直接は測れません。私たちが実際に見るのはその二乗 |ψ(x)|² で、それが x で粒子を見つける確率密度です。最初の図で ψ が上下に揺れる様子から見ていきましょう。
ψ はこの講義で初めて出る記号で、粒子の状態を書いた波動関数です。ガウス包絡の中でコサインが揺れるこの ψ(x) は、正になったり負へ沈んだりします。スライダーで中心を動かしてください。形はついて来ますが、負の部分は測定値ではなく単なる振幅だと覚えておきましょう。このように ψ が負まで行き来するおかげで、二つの波が出会うと互いに打ち消すこともあり、つねに正である古典確率には真似できない量子ならではの特徴です。
次に同じ ψ を二乗した |ψ(x)|² を描きます。二乗すると、負だった谷がすべて正の山へ反転します。スライダーで同じ中心を動かすとこの曲線も追随しますが、0 より下には決して行きません。符号が消えて残ったこの正の塊こそ確率密度です。二乗して確率を得るこの規則はマックス・ボルンが提案し、量子力学の標準的な解釈として定着したので、ボルンの規則と呼ばれます。
確率密度曲線の下の面積が実際の確率です。二つのスライダーで区間の左端 a と右端 b を決めると、その間の塗られた面積が P(a ≤ x ≤ b) として読み取れます。狭くすれば小さな確率、広くすれば大きな確率です。面積がそのまま、その区間で粒子を見つける見込みを語ります。同じように準備した粒子を数え切れないほど測定すると、その区間で見つかる割合はまさにこの面積に収束するので、確率は実験で確かめられる値になります。
今度は同じ形の波を二つ足し、相対位相だけをスライダーで変えます。位相 0 では補強し合って |ψ|² が盛り上がり、π 付近では打ち消し合って平らになります。それぞれ単独では同じに見えるのに、合わさった確率は位相で変わります。位相は一つの |ψ|² だけでは見えませんが、干渉を支配します。二つの経路の相対位相が明暗の縞として現れるのがまさに二重スリット干渉なので、位相は見えなくても実験にはっきりとした痕跡を残します。
粒子はどこかに必ずあるので、|ψ|² の全面積はつねに 1 でなければなりません。ψ に倍率 c を掛けるスライダーを動かすと、|c·ψ|² の総面積は c² に比例して増減します。面積がちょうど 1 になる c で図が強調されます。こうして全確率を 1 に合わせるのが規格化です。一度 1 に合わせておけば、時間が経って波が動き広がっても全面積はずっと 1 に保たれるので、粒子が突然消えてしまうことはありません。