自由粒子 波束 わかりやすく
閉じ込められていない自由粒子には、箱のように段に分かれたエネルギーがありません。どの波数 k でも許され、各平面波は ω(k) = ℏk²/2m という分散関係で振動します。山は位相速度でゆっくり流れ、粒子が実際に進む速度はその二倍の群速度です。時間がたつと固まっていた束はだんだん広がります。山から束、分散曲線、広がりへと追います。
まず平面波を一つだけ見ます。Re(ψ) = cos(kx − ωt) は限りなく続くさざ波です。k でさざ波の細かさを変え、時間で山を前へ送ります。ここで k = 2π/λ は波数です。山が流れる速度が位相速度 vp = ℏk/2m として読め、k を大きくすると山はより速く走ります。
近い k のコサインをいくつも足して束を一つ作ります。時間を流すと二つの速度が分かれます。印を付けた山は位相速度でゆっくり行き、束全体の峰はその二倍の群速度 vg で先に行きます。峰が山を追い越すのが見えます。物質波ではいつも vg = 2vp で、粒子が本当に移る速度は群速度です。
二つの速度の正体は分散曲線 ω(k) = ℏk²/2m に入っています。この ω(k) は振動数を波数に結ぶ分散振動数で、振動子の ω でもうなりの振動数でもありません。曲線上の点を動かすと接線の傾きが群速度 vg で、原点からその点までの傾きが位相速度です。放物線なので接線は直線より二倍急で、vg = 2vp が確かめられます。
自由粒子はじっとさせても時間がたてば広がります。|ψ(x,t)|² は時間を押すほど広く平らになります。分散曲線が曲がっていて、つまり d²ω/dk² = ℏ/m が 0 ではないから起きるのです。最初の束を狭くするほどより速く広がります。位置を狭めると運動量が広がり、不確定性とつながります。
自由粒子と箱を並べて見ます。自由粒子はどの k でも許されるので E(k) = ℏ²k²/2m が途切れない連続曲線です。閉じ込められた箱は E ∝ n² の飛び飛びのはしごだけを許します。二つを切り替えると、自由は滑らかな連続、箱は離散の段という違いがはっきりします。閉じ込めると量子化され、放つと連続です。