時間とともに位相が回り、重ね合わせは揺れる
これまで見た波動関数は時間が止まった写真でした。その写真を動かすエンジンが時間依存シュレディンガー方程式 iℏ ∂Ψ/∂t = HΨ です。ここで H は全エネルギーを担うハミルトニアンです。この方程式を解くと、エネルギーが定まった定常状態は形 |ψ|² をそのままに、位相 e−iEt/ℏ だけがぐるぐる回ります。ところがエネルギーの異なる二つの状態を重ねると、二つの位相がずれて確率が左右に揺れ始めます。最初の図で時間スライダーを引き、定常状態の位相が回る様子から追ってみましょう。
一つの定常状態は Ψ(x,t) = ψ(x) e−iEt/ℏ として時間を進みます。上の枠の実部 Re(Ψ) は時間とともに符号まで反転して揺れますが、下の枠の確率密度 |Ψ|² はびくともしません。位相の絶対値はつねに 1 なので、二乗すると消えるからです。スライダーで時間を、ステップで量子数 n を変えると、どんな定常状態でも回るのは位相だけで形は止まっていると確かめられます。
今度はエネルギーの異なる二つの定常状態 ψ₁ と ψ₂ を振幅 c₁, c₂ で混ぜます。|Ψ|² を展開すると、c₁ψ₁ と c₂ψ₂ それぞれの二乗に加えて、両者が出会う干渉項 2 Re[c₁c₂* ψ₁ψ₂* e−i(E₁−E₂)t/ℏ] が出ます。この項が時間とともに符号を変え、確率の塊を左右に押します。スライダーで二つの振幅の比を変え、時間を引くと、混ざりが均等なほど揺れが大きくなるのが見えます。ここでの ω=(E₂−E₁)/ℏ は二つの位相のずれが生む唸り振動数で、振動子の ω でも分散の ω(k) でもありません。
揺れが一往復するのにかかる時間を唸り周期と呼びます。式は T = h/(E₂−E₁) なので、二つのエネルギーの間隔が大きいほど周期は短くなります。スライダーで間隔 (E₂−E₁) を大きくすると、T が縮み ω=(E₂−E₁)/ℏ が大きくなるのを二つの数で読めます。ここでの T は揺れの周期で、トンネル効果の透過確率 T ではありません。エネルギーが離れるほど速く揺れ、二つが等しくなると揺れが止まるという直感を手で確かめましょう。
なぜ揺れが起きるかを二本の時計の針で描きます。振幅 c₁, c₂ が各針の長さで、二本の針は自分のエネルギー E₁, E₂ に比例する速さで回ります。干渉項は二本の針の相対角、つまり (E₂−E₁)t/ℏ だけに依存します。二本が同じ向きを指すと確率が一方へ寄り、逆を指すともう一方へ寄ります。時間スライダーを回すと、速い針が遅い針を一周追い越すたびに一つの唸りが完成します。
二つの状態を混ぜた粒子の平均位置 ⟨x⟩(t) を時間軸に描くと、きれいな正弦曲線が出ます。揺れていた確率の塊の重心が左右に往復するのが、まさにこの振動です。振動数はやはり唸り ω=(E₂−E₁)/ℏ で、振幅は二つの振幅の積 c₁c₂ に比例します。だから片方の状態だけだと(積が 0)平均は止まり、二つが均等に混ざると(積が最大)もっとも大きく揺れます。スライダーで混ざりを変え、振幅が伸び縮みするのを見ましょう。