時間発展 シュレーディンガー方程式
ここまでの波動関数は時間が止まった写真でした。その写真を動かすエンジンが時間依存のシュレーディンガー方程式 iℏ ∂Ψ/∂t = HΨ です。H は全エネルギーを担うハミルトニアンです。エネルギーが定まった定常状態は形 |ψ|² を置いたまま、位相 e−iEt/ℏ だけが回ります。エネルギーの違う二つの状態を重ねると位相がずれ、確率が左右に揺れ始めます。最初の図は時間を引いて、定常状態の位相が回るところから始まります。
一つの定常状態は Ψ(x,t) = ψ(x) e−iEt/ℏ として時間を進みます。実部 Re(Ψ) は時間がたつと符号まで反転して揺れますが、確率密度 |Ψ|² は動きません。位相の大きさはいつも 1 なので、二乗すると消えるからです。時間と量子数 n を変えると、どの定常状態でも回るのは位相だけで、形は止まっているのが見えます。
エネルギーの違う二つの定常状態 ψ₁ と ψ₂ を振幅 c₁, c₂ で混ぜます。|Ψ|² を展開すると c₁ψ₁ と c₂ψ₂ それぞれの二乗に加えて、両者が出会う干渉項 2 Re[c₁c₂* ψ₁ψ₂* e−i(E₁−E₂)t/ℏ] が出ます。この項が時間とともに符号を変え、確率の塊を左右に押します。二つの振幅の比を変え時間を引くと、混ざりが均等なほど揺れが大きくなります。ω=(E₂−E₁)/ℏ は二つの位相のずれが作る唸り振動数で、振動子の ω でも分散の ω(k) でもありません。
揺れが一往復する時間を唸り周期と呼びます。式は T = h/(E₂−E₁) なので、二つのエネルギーの間隔が大きいほど周期は短くなります。間隔 (E₂−E₁) を大きくすると、T が縮み ω=(E₂−E₁)/ℏ が大きくなるのを二つの数で読めます。ここでの T は揺れの周期で、トンネルの透過確率 T ではありません。エネルギーが離れるほど速く揺れ、二つが等しくなると揺れが止まります。
揺れが起きる理由を二本の時計の針で描きます。振幅 c₁, c₂ が各針の長さで、二本は自分のエネルギー E₁, E₂ に比例する速さで回ります。干渉項は二本の相対角、つまり (E₂−E₁)t/ℏ だけに依存します。二本が同じ向きを指すと確率が一方へ寄り、逆を指すともう一方へ寄ります。時間を回すと、速い針が遅い針を一周追い越すたびに唸りが一回終わります。
二つの状態を混ぜた粒子の平均位置 ⟨x⟩(t) を時間軸に描くとサイン曲線が出ます。揺れる確率の塊の重心が左右に往復するのがこの振動です。振動数は唸り ω=(E₂−E₁)/ℏ で、振幅は二つの振幅の積 c₁c₂ に比例します。片方だけなら積が 0 で平均はじっとし、二つが均等に混ざると積が最大で最も大きく揺れます。混ざりを変えると振幅が伸びたり縮んだりするのが見えます。