箱の中の粒子 わかりやすく
粒子を箱 [0, L] の中に閉じ込めます。壁で波動関数が 0 でなければならないので、任意の波は入れず、両端が結ばれた定常波だけが残ります。半波長が整数回入る形だけが許され、エネルギーも離れた値しか持てません。最初の図で箱の中の ψₙ(x) を変えて見ます。 閉じ込めが値を離れさせます。
両方の壁で ψ は必ず 0 です。許される形は ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L) だけで、両端が 0 の定常波です。n を 1, 2, 3, 4 と上げると節 (node) が一つずつ増えます。n 番目の状態は中に n-1 個の節を持ち、端は壁に結ばれています。
各定常波のエネルギーを梯子で見ます。ここでのエネルギーは Eₙ、つまりエネルギー準位で、下付きが何段目かを知らせます。電場の E とは別の量で、これは離れた準位です。Eₙ ∝ n² なので段は 1, 4, 9, 16 の比で広がり、n を選ぶとその横木が強調されます。上へ行くほど間隔は広がります。 閉じ込めが値を離れさせます。
なぜ整数だけが許されるのでしょう。箱の中では半波長が整数回ぴったり入らなければなりません。n 番目の状態は半波長が n 個なので、波長は λₙ = 2L/n と定まります。半波長の個数を変えると、両端が 0 の形は整数のときだけできます。境界条件が波長を量子化し、波長が定まればエネルギーも量子化されます。
最も低い n=1 を基底状態と呼びます。節のない単純な山でも、エネルギーは 0 ではなく最小値 E₁ を持ちます。これを零点エネルギーといいます。箱の幅 L を狭めると E₁ ∝ 1/L² なので、狭くなるほど底が速く持ち上がります。ℏ = h/2π を使うと E₁ = π²ℏ²/(2 m L²) であり、閉じ込めるほどエネルギーは 0 になれません。
一つの整数 n がすべてを一度に定めます。n を定めると山の数、節の数 (n-1)、そしてエネルギー Eₙ ∝ n² が一緒に決まります。n を上げ下げすると三つの値が一緒に動きます。整数一つが各状態に名前を付けるので、これを量子数と呼びます。