位置と運動量は同時に絞れない
粒子を一点に正確に閉じ込めようとするほど、その運動量はより大きくぼやけます。位置の広がりを Δx、運動量の広がりを Δp と呼ぶと、二つは片方を縮めると他方が伸びるシーソーです。ガウス波束ではこの積が底まで下がって Δx·Δp = ℏ/2 になり、その下には決して行けません。最初の図では空間の中の小さな山一つから始めましょう。
位置が明確な粒子は、空間の中の小さな山一つです。ガウス波束の確率密度 |ψ(x)|² を描き、幅 σ をスライダーで変えてみましょう。σ を小さくすると山は狭く高くなり、大きくすると広く低く広がります。面積はつねに 1 に固定されているので、狭めるほどその分だけ高くなります。幅を 0 に近づけて完璧な一点を作ろうとすると、山は限りなく高くそびえて物理的に不可能になり、これが位置を際限なく狭めることはできないという最初の兆しです。
同じ σ が位置の広がり Δx と運動量の広がり Δp を同時に決めます。ガウス波束では Δx は σ に比例し、Δp は 1/σ すなわち ℏ/(2σ) に比例します。スライダーで σ を小さくすると Δx の棒は縮みますが、Δp の棒はその分だけ高くなります。二本の棒の積 Δx·Δp はつねに同じ値にとどまります。一つの σ が二つの広がりを一度に決めるのは、位置と運動量が一つの根から出た対だからで、とても短い音ほど音の高さがぼやける現象とまったく同じ引き換えです。
一行で書くと、この限界はハイゼンベルクの関係 Δx·Δp ≥ ℏ/2 です。ここで ℏ = h/2π は換算プランク定数です。境界曲線 Δp = ℏ/(2Δx) を描いてその下を塗ると、点は曲線の上やその上方には座れても、塗られた下の帯には決して入れません。ガウス波束はちょうどその境界線の上に乗ります。この限界は測定が下手だからではなく自然が定めた底なので、電子が核へ完全に落ち込まず原子がつぶれない理由もまさにここにあります。
なぜ絞ると運動量がぼやけるのでしょう。位置が明確な山は、多くの波数の平面波を足して作ります。スライダーで足す波の数 N を増やしてみましょう。一つだけでは終わりなく続く波で位置がなく、いくつも足すほど x = 0 付近だけで補強し合って山が鋭くなります。狭く閉じ込めるには、それだけ多くの波数が要ります。足し合わせた波数が広く散らばっているということは、すなわち運動量が広く散らばっているということなので、狭い山を作るまさにその瞬間に運動量のぼやけが一緒についてきます。
位置による記述と運動量による記述は、同じ粒子を見る二つの言葉で、フーリエ変換で対をなします。左は位置空間のガウス、右は運動量空間のガウスで、幅は互いに逆数です。σx を小さくすると左が狭まり、右は σp = 1/(2σx) に広がります。片方を明確にすると他方がぼやける理由が、まさにこの逆数の関係です。幅が互いに逆数であるこのフーリエの対の関係は量子だけのものではなく、あらゆる波が持つ性質であり、自然が粒子までも波として書いたからこそ、不確定性が物質の根本法則になったのです。