不確定性原理 わかりやすく

位置がはっきりした粒子は、空間の小さな山です。ガウス波束の確率密度 |ψ(x)|² を描いて幅を変えます。幅を縮めると山は狭く高くなり、広げると広く低くなります。面積はいつも 1 に固定されているので、狭くするほど背が伸びます。幅を 0 に寄せて完璧な一点を作ろうとすると山は限りなく跳ね上がり、物理的に不可能になります。これが位置を限りなく狭くできないという最初の合図です。

同じ幅が位置の広がりと運動量の広がりを一緒に定めます。ガウス波束では位置の広がりは幅に比例し、運動量の広がりは 1/σ に比例して ℏ/(2σ) です。幅を縮めると位置の棒は縮み、運動量の棒はそれだけ伸び、二つの棒の積は同じ値にとどまります。一つの幅が二つの広がりを一緒に定めるのは、二つが一つの根から出た対だからで、短い音ほど音高がぼやけるのと同じ引き換えです。

この限界を一行で書くとハイゼンベルクの関係 Δx·Δp ≥ ℏ/2 です。ここで ℏ = h/2π は縮めたプランク定数です。境界 Δp = ℏ/(2Δx) を引いて下を塗ると、点は曲線の上かそれより上には座れても、塗った下には入れません。ガウス波束はその境界の上に正確に載ります。この床は測定が下手だからではなく自然が定めたもので、電子が核へ完全に落ちず原子が潰れない理由もここにあります。

なぜ狭めると運動量がぼやけるのでしょう。位置がはっきりした山は、いくつもの波数の平面波を足して作ります。足す波の個数 N を増やして見ます。一つだけだと終わりなく繰り返す波で位置がなく、多く足すほど x = 0 の近くだけで強め合って山がはっきりします。狭く閉じ込めるにはそれだけ多くの波数が要ります。足した波数が広く散らばっていることは運動量が広く散らばっていることで、狭い山を作るそのときに運動量のぼやけが一緒に来ます。

位置の記述と運動量の記述は同じ粒子を見る二つの言語で、二つはフーリエ変換で対です。左は位置のガウス、右は運動量のガウスで、幅は互いの逆数です。位置の幅を縮めると左は狭くなり、代わりに右は σp = 1/(2σx) で広がります。一方をはっきりさせると他方がぼやける理由がこの逆数の関係です。幅が逆数のフーリエ対は量子だけのものではなくあらゆる波の性質で、自然が粒子まで波として書いたから不確定性が物質の法則になったのです。