파동과 입자, 확률로 보는 양자의 세계

한 번에 하나씩 쌓이는 점이 결국 간섭무늬를 만들어요. 경로를 관측하면 줄무늬가 사라지고 입자가 돼요. 드브로이 파장 λ = h/p.

파동함수 ψ 자체는 보이지 않지만, 그 제곱 |ψ|²이 어디서 발견될지의 확률밀도예요. 전체 넓이는 1로 정규화돼요.

상자에 갇힌 파동은 양 끝이 0인 정상파만 허용돼요. 정수배 파장만 맞아 에너지가 Eₙ = n²π²ℏ²/2mL²로 띄엄띄엄해져요.

위치를 좁히면 운동량이 퍼져요. 좁은 파동묶음은 많은 파수의 합이라, 곱이 Δx·Δp ≥ ℏ/2 아래로 못 내려가요.

고전적으로 못 넘는 벽 안에서도 파동함수는 0이 아니라 지수적으로 줄어들어요. 그래서 투과 확률 T로 벽 너머에 새어 나가요.

측정 전에는 α|↑⟩ + β|↓⟩처럼 여러 상태가 겹쳐 있어요. 측정하면 하나로 붕괴하고, 그 확률은 |α|², |β|²이에요.

오비탈은 ψ를 반지름 부분 R(r)과 각도 부분 Y(θ,φ)로 나눈 확률 구름이에요. n, l, mₗ만 모양을 정해요. 여기선 2D 단면으로 봐요.

단단한 상자 벽 대신 부드러운 포물선 골짜기에 가두면, 에너지 사다리가 n²이 아니라 똑같은 간격 ℏω로 늘어서요. 바닥상태도 0이 아니에요. Eₙ=(n+½)ℏω.

벽이 무한히 높지 않고 유한하면, 갇힌 에너지 준위는 몇 개뿐이고 파동함수가 벽 속으로 지수적으로 새어들어요. 우물이 깊을수록 준위가 더 생겨요.

평면파 하나는 위상속도로 흐르지만, 진짜 입자는 여러 파수의 묶음이라 군속도 v_g=ℏk/m로 움직이고 점점 퍼져요. 물질파에선 v_g=2v_p예요.

에너지 정상상태는 위상 e^(−iEt/ℏ)만 돌아 |ψ|²이 멈춰 있지만, 두 에너지를 겹치면 확률이 맥놀이 진동수 ω=(E₂−E₁)/ℏ로 출렁여요.

위치·운동량·에너지 같은 관측량은 각각 연산자예요. 측정하면 고윳값 하나가 나오고, 여러 번 측정한 평균이 기댓값 ⟨A⟩=∫ψ*Âψ dx예요.

원자의 에너지 준위가 띄엄띄엄하니, 전자가 준위 사이를 뛸 때 정확히 한 색의 광자 E=hf=Eᵢ−E_f가 나와요. 그래서 원소마다 고유한 선스펙트럼을 가져요.

중성 원자 빔을 불균일 자기장에 통과시키면, 고전적 예상과 달리 연속한 띠가 아니라 정확히 두 점으로 갈라져요. 스핀이 S_z=±½ℏ로 양자화돼 있기 때문이에요.