양자는 벽을 통과해 새어 나간다
고전 세계라면 에너지가 모자란 공은 언덕을 넘지 못하고 그대로 튕겨 나온다. 양자 세계에서는 입자의 에너지 E 보다 높은 벽 V 안에서도 파동함수가 0 으로 끊기지 않고 e−κx 꼴로 잦아들 뿐이어서, 벽이 얇으면 반대편까지 작은 진폭이 남는다. 그래서 입자가 벽을 통과할 확률 T 가 0 이 아니고, 이것을 터널 효과라 한다. 1928년 가모프는 이 효과로 원자핵의 알파 붕괴를 설명했고, 오늘날에는 원자를 보는 현미경과 플래시 메모리가 같은 원리로 움직인다.
벽을 만난 파동이 어떻게 되는지는 벽 안과 벽 너머의 모양을 나눠 보면 분명해진다. 아래 그림은 왼쪽에서 들어오는 파동이 두께 w 인 벽을 만나는 모습으로, 벽 위의 V > E 는 입자의 에너지가 벽 높이보다 낮다는 뜻이다. 왼쪽의 진동은 벽에 들어서면 출렁임을 멈추고 매끄럽게 줄어들다가, 벽 오른쪽에서 같은 파장의 작은 진동으로 다시 살아난다. 벽 안의 감쇠율 κ 는 1.1 로 고정되어 있고, 아래 숫자는 오른쪽으로 새어 나간 진폭 e−κw 로 처음 두께 1.4 에서 0.214 이며, 슬라이더로 0.5 까지 얇게 하면 0.577, 2.6 까지 두껍게 하면 0.057 이 된다. 통과할 확률은 진폭의 제곱을 따르므로 두께 1.4 에서는 0.046 쯤으로, 진폭보다 훨씬 빠르게 줄어든다. 그림은 벽에서 되튀는 반사파를 빼고 모양만 단순하게 그렸지만, 파동함수가 벽 안에서도 끊기지 않고 이어진다는 핵심은 그대로이다.
얼마나 새어 나가는지는 투과 확률 T 하나로 적는다. 아래 그림은 벽 높이 V = 1 인 사각 장벽에서 입자 에너지 E 에 따라 투과 확률 T 가 어떻게 변하는지를 그린 것이다. T 는 0 에서 1 사이의 단위 없는 확률로, 처음 값 E = 0.30V 에서 0.082 이고, 슬라이더로 E 를 0.90V 까지 올리면 0.388, E = V 에 닿으면 0.452 가 된다. 벽 안에서 파동이 잦아드는 빠르기는 κ = √(2m(V − E))ℏ 로 정해지고, 벽이 두꺼우면 T 는 대략 16·EV(1 − EV)·e−2κL 이라 지수 부분이 크기를 좌우한다. E 가 V 에 가까워질수록 κ 가 작아져 T 가 빠르게 커지지만, 이 벽에서는 E = V 에서도 T 가 절반에 못 미치고, 벽보다 에너지가 큰 입자도 일부는 반사된다. 지수에 들어 있는 κL 이 조금만 커져도 T 가 몇 배씩 줄어들기 때문에, 터널 효과는 벽의 두께와 높이에 매우 민감하다.
고전 입자와 양자 입자의 차이는 같은 조건에 나란히 놓으면 가장 뚜렷하다. 아래 그림은 에너지가 E = 0.5 인 입자가 같은 벽에 부딪히는 두 경우를 위아래로 나란히 놓은 것이다. 위의 고전 입자는 벽이 에너지보다 높으면 예외 없이 튕겨 나와 T = 0 이지만, 아래의 양자 입자는 같은 조건에서도 일부가 벽을 지나 오른쪽에 T 만큼의 막대를 남긴다. 처음 벽 높이 V = 1.20 에서 양자 쪽 T 는 0.175 이고, 슬라이더로 V 를 2.00 까지 올리면 0.036, 3.00 까지 올리면 0.007 로 줄어든다. 벽이 높아질수록 κ 가 커져 통과가 급격히 줄지만, 어떤 높이에서도 정확히 0 이 되지는 않는다. 고전역학에서는 들어갈 수 없는 영역에도 파동함수는 스며들고, 그 스며든 몫이 벽 너머에서 실제로 검출된다.
벽 안에서 일어나는 일을 확대하면, 진폭은 출렁이지 않고 e−κx 꼴로 매끄럽게 줄어드는 꼬리다. 아래 그림의 칠한 곳이 두께 L 인 벽 속이고, 오른쪽 끝의 초록 막대가 벽을 다 지난 x = L 에서 남은 진폭이다. 슬라이더로 감쇠율 κ 를 처음 값 0.80 에서 0.30 으로 줄이면 남은 진폭이 0.091 에서 0.407 로 커지고, 2.20 까지 키우면 0.001 로 거의 사라진다. κ 는 √(V − E) 에 비례하므로 벽을 높이면 κ 가 커지고, 벽 두께가 같아도 꼬리가 훨씬 가파르게 떨어진다. 남은 진폭이 작을수록 새어 나가는 확률도 그 제곱만큼 작아지므로, 꼬리의 기울기가 곧 터널링의 세기다.
이 새어 나감은 자연과 기술 곳곳에 있다. 아래 그림의 버튼으로 세 장면을 고르면 장벽 그림은 그대로 두고 양쪽의 이름과 설명만 바뀐다. 알파 붕괴에서는 원자핵 안의 알파 입자가 핵의 장벽을 터널링해 나오는데, 통과 확률이 지수로 민감하기 때문에 알파 입자의 에너지가 두 배쯤 차이 날 뿐인데도 반감기는 폴로늄-212 의 0.3 μs 에서 토륨-232 의 약 1.4 × 10¹⁰ 년까지 벌어진다. 주사 터널링 현미경은 날카로운 탐침과 표면 사이로 흐르는 터널 전류가 간격이 0.1 nm 줄 때마다 열 배쯤 커지는 성질을 이용해 원자 하나하나의 높낮이를 그리며, 1981년 IBM 취리히 연구소에서 처음 만들어졌다. 플래시 메모리는 전자가 얇은 산화막을 터널링해 부유 게이트에 들어가거나 빠져나오게 해서, 전원이 꺼져도 남는 전하로 비트를 저장한다.