파동함수의 제곱이 확률이다
입자가 어디에 있는지를 자연은 파동함수 ψ(x)로 적어 둔다. ψ 자체는 음수도 되고 바로 재지도 않아요. 우리가 보는 것은 그 제곱 |ψ(x)|²이고, 그것이 입자를 x에서 발견할 확률밀도다. 첫 그림은 ψ가 위아래로 출렁이는 모습에서 시작한다. 출렁임이 먼저 보인다.
ψ는 이 강에서 처음 만나는 기호로, 입자의 상태를 적은 파동함수다. 가우스 덮개 안에서 코사인이 흔들리는 ψ(x)를 보면 값이 양수였다가 음수로 내려가요. 중심을 옮기면 모양은 그대로 따라가고, 음수 구간은 측정값이 아니라 진폭이다. ψ가 음수까지 오가야 두 파동이 만나 서로를 지울 수 있고, 언제나 양수인 고전 확률은 그 상쇄를 흉내 내지 못해요. 음수 진폭이 있어야 상쇄가 가능하다.
같은 ψ를 제곱한 |ψ(x)|²를 그린다. 제곱하면 음수였던 골짜기가 모두 양수 봉우리로 뒤집혀요. 같은 중심을 옮기면 이 곡선도 따라오고, 절대 0 아래로는 내려가지 않는다. 부호가 사라진 양수 덩어리가 확률밀도예요. 제곱으로 확률을 얻는 규칙은 막스 보른이 제안해 표준 해석이 되었고, 그래서 보른 규칙이라 부른다. 봉우리가 곧 발견의 자리다.
확률밀도 곡선 아래의 넓이가 실제 확률이다. 구간의 왼쪽 a와 오른쪽 b를 정하면 그 사이 색칠된 넓이가 P(a ≤ x ≤ b)로 읽혀요. 구간을 좁히면 확률은 작고, 넓히면 확률은 크다. 그 구간에서 입자를 발견할 가능성을 넓이가 말해 준다. 같은 준비의 입자를 거듭 재면 그 구간에서 발견되는 비율이 이 넓이로 모여, 확률이 실험에서 확인되는 값이 된다. 넓이가 곧 그 가능성이다.
같은 모양의 파동 둘을 더하고, 상대 위상만 바꾼다. 위상이 0이면 둘이 보강되어 |ψ|²가 솟고, π 근처면 상쇄되어 납작해져요. 두 조각은 따로 보면 같은데 합친 확률은 위상에 따라 달라진다. 위상은 |ψ|² 하나만 봐서는 안 보이지만 간섭을 좌우해요. 두 경로의 상대 위상이 밝고 어두운 줄무늬로 남는 것이 이중 슬릿 간섭이라, 위상은 안 보여도 실험에 흔적을 남긴다. 위상은 무늬로만 남는다.
입자는 어딘가에 반드시 있으므로 |ψ|²의 전체 넓이는 언제나 1이어야 한다. ψ에 배율 c를 곱하면 |c·ψ|²의 총 넓이가 c²만큼 커지거나 작아져요. 넓이가 딱 1이 되는 자리에서 그림이 강조된다. 전체 확률을 1로 맞추는 일이 규격화예요. 한 번 1로 맞춰 두면 시간이 흘러 파동이 움직이고 퍼져도 전체 넓이는 1로 남아서, 입자가 갑자기 사라지지 않는다. 넓이가 보존된다.