파동함수의 제곱이 확률이다
입자가 어디에 있는지 자연은 ψ(x)라는 파동함수로 적어둬요. 그런데 ψ 자체는 음수도 되고 직접 측정할 수도 없어요. 우리가 실제로 보는 건 그 제곱 |ψ(x)|²이고, 그게 바로 입자를 x에서 발견할 확률밀도예요. 첫 그림에서 ψ가 위아래로 출렁이는 모습부터 같이 봐요.
ψ는 이 강의에서 처음 나오는 기호로, 입자의 상태를 적은 파동함수예요. 가우스 덮개 안에서 코사인이 출렁이는 이 ψ(x)를 보면 값이 양수였다가 음수로도 내려가요. 슬라이더로 중심을 옮겨보세요. 모양은 그대로 따라가지만, 음수 부분은 측정값이 아니라 그냥 진폭이라는 점을 기억해요. 이렇게 ψ가 음수까지 오가는 덕분에 두 파동이 만나면 서로 지우기도 하는데, 언제나 양수인 고전 확률로는 흉내 낼 수 없는 양자만의 특징이에요.
이제 같은 ψ를 제곱한 |ψ(x)|²를 그려봐요. 제곱하니 음수였던 골짜기들이 전부 양수 봉우리로 뒤집혀요. 슬라이더로 같은 중심을 움직이면 이 곡선도 따라오는데, 절대 0 아래로는 안 내려가요. 부호가 사라지고 남은 이 양수 덩어리가 바로 확률밀도예요. 제곱해서 확률을 얻는 이 규칙은 막스 보른이 제안해 양자역학의 표준 해석으로 자리 잡았고, 그래서 보른 규칙이라고 불러요.
확률밀도 곡선 아래 넓이가 실제 확률이에요. 두 슬라이더로 구간의 왼쪽 a와 오른쪽 b를 정하면 그 사이 색칠된 넓이가 P(a ≤ x ≤ b)로 읽혀요. 좁게 잡으면 작은 확률, 넓게 잡으면 큰 확률이죠. 입자를 그 구간에서 발견할 가능성을 넓이가 그대로 말해줘요. 똑같이 준비한 입자를 수없이 많이 측정하면 그 구간에서 발견되는 비율이 바로 이 넓이로 수렴해서, 확률이 실험으로 확인되는 값이 돼요.
이제 같은 모양의 파동 두 개를 더하는데, 상대 위상만 슬라이더로 바꿔봐요. 위상이 0이면 둘이 보강돼서 |ψ|²가 솟고, π 근처면 상쇄돼서 납작해져요. 두 조각은 따로 보면 똑같은데도 합쳐진 확률은 위상에 따라 달라져요. 위상은 하나의 |ψ|²만 봐서는 안 보이지만 간섭을 좌우해요. 두 경로의 상대 위상이 밝고 어두운 줄무늬로 나타나는 것이 바로 이중 슬릿 간섭이라서, 위상은 보이지 않아도 실험에서 또렷한 흔적을 남겨요.
입자는 어딘가에는 반드시 있으니, |ψ|² 전체 넓이는 항상 1이어야 해요. ψ에 배율 c를 곱하는 슬라이더를 움직이면 |c·ψ|²의 총 넓이가 c²만큼 커지거나 작아져요. 넓이가 딱 1이 되는 c에서 그림이 강조돼요. 이렇게 전체 확률을 1로 맞추는 게 규격화예요. 한 번 1로 맞춰 두면 시간이 흘러 파동이 움직이고 퍼져도 전체 넓이는 계속 1로 보존돼서, 입자가 갑자기 사라지는 일은 없어요.