벽이 유한하면 갇힌 상태도 유한하다
무한 상자에서는 벽이 무한히 높아서 정상파를 얼마든지 쌓을 수 있었어요. 그런데 현실의 우물은 깊이 V0가 유한해요. 그러면 안에 갇힐 수 있는 상태(에너지 E가 −V0와 0 사이인 상태)의 개수가 딱 정해진 유한한 수가 돼요. 게다가 파동함수는 벽 너머로 e−κ|x|처럼 새어 나가요. 여기서 κ는 터널링 강에서 본 그 감쇠 상수와 같은 양이고, 갇힌 상태는 E가 0보다 작아요. 첫 그림에서 깊이를 바꿔가며 사다리 칸이 생겼다 사라지는 걸 봐요.
우물의 깊이 V0와 반너비 a가 함께 정하는 한 가지 무차원 수가 강도 z0 = a·√(2 m V0)/ℏ예요. 갇힌 상태의 개수는 대략 1 + floor(z0 / (π/2))이고, 아무리 얕아도 최소 한 개는 항상 존재해요. 슬라이더로 V0를 키우면 z0가 π/2의 배수를 넘을 때마다 우물 안에 새 가로대가 하나씩 솟아나요. 그림은 우물 벽과 그 안의 에너지 준위 선들을 함께 그려요.
갇힌 상태 하나의 모양을 자세히 봐요. 우물 안에서는 파동수 k = √(2 m (E + V0))/ℏ로 진동하지만, 벽 밖에서는 e−κ|x|로 부드럽게 잦아들어요. 여기서 κ = √(−2 m E)/ℏ인데, E가 0보다 작아서 잘 정의돼요. E를 0에 가깝게(우물을 얕게) 끌어올리면 꼬리가 더 통통해지고 멀리까지 뻗어요. 입자가 고전적으로는 못 가는 영역까지 새어 나가는 거예요.
허용되는 에너지는 어떻게 나올까요? 짝상태는 k·tan(ka) = κ, 홀상태는 −k·cot(ka) = κ라는 초월방정식을 풀어야 해요. 이걸 그림으로 풀어요. 반지름 z0인 사분원과 tan, −cot 가지들을 한 평면에 겹쳐 그리면, 만나는 점들이 곧 허용된 에너지예요. 슬라이더로 z0를 키우면 사분원이 커지면서 교점의 개수가 늘어나요.
E를 천천히 움직여 0을 지나가 봐요. E가 0보다 작은 동안에는 양쪽 꼬리가 잦아드는 국소화된 갇힌 상태예요. 우물 안에 머무는 입자죠. 그런데 E가 0을 넘어 양수가 되면 더는 갇히지 않고 양옆으로 무한히 뻗는 진동하는 산란 상태가 돼요. 이때 에너지는 더 이상 띄엄띄엄하지 않고 연속이에요. 즉 E < 0은 이산 스펙트럼, E > 0은 연속 스펙트럼이에요.
마지막으로 우물을 점점 깊게 만들어 봐요. V0를 키우면 κ가 커져서 꼬리가 빠르게 사라지고, 우물 안의 파형은 양 끝이 0인 무한 상자의 sin 모양에 점점 가까워져요. 에너지 사다리도 무한 상자의 Eₙ ∝ n² 비율로 다가가요. 그림에서 유한 우물 파형 위에 무한 상자의 결과를 겹쳐 보여줘서, V0 → ∞ 극한이 어떻게 익숙한 상자로 되돌아가는지 한눈에 보여요.