조화 진동자는 사다리 간격이 일정하다
입자를 딱딱한 벽이 아니라 부드러운 그릇 V(x) = ½ m ω² x² 안에 넣는다. 상자에서는 에너지 칸이 1, 4, 9, 16처럼 위로 갈수록 벌어졌지만, 여기서는 칸 간격이 처음부터 끝까지 ΔE = ℏω로 같다. 준위는 Eₙ = (n + ½)ℏω이고, 가로대가 고른 간격으로 늘어선다. 첫 그림은 그릇 V(x)와 그 위의 고른 사다리를 같이 두고, 강성을 바꾸면 둘이 어떻게 같이 움직이는지 본다.
그릇 V(x) = ½ m ω² x²의 강성 ω를 바꾼다. 이 ω는 진동자의 각진동수로, 고전 단진동(SHM)의 그 ω와 같은 양이다. ω를 키우면 그릇이 좁고 가팔라지고, 그 위 사다리도 함께 늘어난다. 가로대는 언제나 ΔE = ℏω로 놓이고, 그 값이 옆에 같이 보여요. 상자의 1, 4, 9, 16과 달리 칸 사이는 빽빽해지지 않는다.
각 칸이 어떤 파동함수 ψₙ(x)를 갖는지 본다. Hₙ는 에르미트 다항식이고, 해밀토니안 H와는 다른 양이다. ψₙ는 가우스 봉우리에 Hₙ(x)를 곱한 모양이라, n번째 상태는 마디(node)를 정확히 n개 가진다. n을 0부터 4까지 올리면 봉우리가 그릇 안에서 출렁이며 마디가 하나씩 늘어난다.
높은 칸으로 올라가면 양자와 고전이 어디서 만나는지 보인다. 고전 진동자는 끝점 근처에서 느려져 오래 머물므로, 머물 확률이 ∝ 1/√(xmax² − x²)로 가장 커요. n을 올리면 양자 |ψₙ(x)|²의 봉우리들이 이 고전 곡선을 따라간다. n이 작으면 둘이 많이 다르고, n이 커지면 양쪽 끝에 확률이 몰려 거의 겹쳐요. 이것이 대응 원리다.
같은 입자, 다른 그릇을 나란히 견준다. 상자는 딱딱한 벽이라 Eₙ ∝ n²이고, 칸이 1, 4, 9, 16처럼 위로 갈수록 벌어져요. 조화 진동자는 부드러운 그릇이라 Eₙ = (n + ½)ℏω이고, 간격이 ΔE = ℏω로 끝까지 같다. 두 사다리를 번갈아 보면 그릇 모양이 간격을 어떻게 정하는지 한눈에 들어와요.
바닥 n=0을 자세히 본다. 마디가 없는 가우스 봉우리지만 에너지가 0이 아니라 E₀ = ½ℏω예요. 이것이 영점 에너지라, 가장 차분한 상태도 완전히 멈추지 못한다. ω를 바꾸면 봉우리 폭은 변해도 E₀ = ½ℏω는 첫 칸의 절반 높이에 남아 0에 닿지 않아요. 가두는 한 바닥 에너지는 0이 될 수 없다.