조화 진동자는 사다리 간격이 일정하다
입자를 딱딱한 벽이 아니라 부드러운 그릇 모양 퍼텐셜 V(x) = ½ m ω² x² 안에 넣어 본다. 상자에서는 에너지 칸이 1, 4, 9, 16처럼 위로 갈수록 빽빽해졌지만, 여기서는 정반대로 칸 간격이 처음부터 끝까지 똑같이 ΔE = ℏω로 일정해요. 에너지 준위는 Eₙ = (n + ½)ℏω이고, 사다리 가로대가 일정한 간격으로 죽 늘어선다. 첫 그림에서 그릇 모양 V(x)와 그 위에 얹힌 균일한 에너지 사다리를 함께 놓고, 강성 ω를 바꾸면 둘이 어떻게 같이 변하는지 본다.
그릇 모양 V(x) = ½ m ω² x²의 강성 ω를 슬라이더로 바꾼다. 여기 ω는 진동자의 각진동수로, 고전 단진동(SHM)에서 쓰던 바로 그 ω와 같은 양이에요. ω를 키우면 그릇이 좁고 가팔라지고, 그 위에 얹힌 에너지 사다리도 함께 위아래로 늘어난다. 가로대들은 항상 일정한 간격 ΔE = ℏω로 놓이고, 옆에 그 값이 같이 표시돼요. 상자의 1, 4, 9, 16과 달리 칸 사이가 절대로 빽빽해지지 않는다.
이제 각 사다리 칸이 어떤 파동함수 ψₙ(x)를 가지는지 본다. 여기 Hₙ는 에르미트 다항식(아래 첨자가 붙은 다항식)으로, 같은 글자를 쓰는 해밀토니안 H와는 다른 양이에요. ψₙ는 가우스 봉우리에 Hₙ(x)를 곱한 모양이라서, n번째 상태는 마디(node)를 정확히 n개 가진다. 스테퍼로 n을 0부터 4까지 올리면, 봉우리가 그릇 안에서 출렁이며 마디가 하나씩 늘어나요.
높은 칸으로 올라가면 양자와 고전이 어떻게 만나는지 드러난다. 고전 진동자는 끝점(전환점) 근처에서 느려져 오래 머물기 때문에, 그곳에 머물 확률이 ∝ 1/√(xmax² − x²)로 가장 커요. 슬라이더로 n을 올리면 양자 |ψₙ(x)|²의 출렁이는 봉우리들이 점점 이 욕조 모양 고전 곡선을 따라간다. n이 작을 때는 둘이 크게 다르지만, n이 커지면 양쪽 끝에 확률이 몰리며 거의 겹쳐요. 이것이 대응 원리다.
같은 입자, 다른 그릇. 두 사다리를 나란히 놓고 견준다. 상자는 딱딱한 벽이라 Eₙ ∝ n²이고, 칸이 1, 4, 9, 16처럼 위로 갈수록 빠르게 벌어져요. 조화 진동자는 부드러운 포물선 그릇이라 Eₙ = (n + ½)ℏω이고, 칸 간격이 ΔE = ℏω로 끝까지 똑같다. 토글로 두 사다리를 번갈아 보면, 퍼텐셜 모양이 에너지 간격을 어떻게 정하는지가 한눈에 들어와요.
바닥 상태 n=0을 자세히 본다. 마디가 하나도 없는 단순한 가우스 봉우리지만, 에너지가 0이 아니라 E₀ = ½ℏω예요. 이것이 영점 에너지로, 가장 차분한 상태조차 결코 완전히 멈추지 못한다. 슬라이더로 ω를 바꾸면 봉우리의 폭은 넓어지거나 좁아지지만, E₀ = ½ℏω는 항상 첫 칸의 절반 높이에 남아 0에 닿지 않아요. 가두는 한 바닥 에너지는 0이 될 수 없다.