자유 입자는 군속도로 움직이고 퍼진다
갇히지 않은 자유 입자는 상자처럼 칸칸이 나뉜 에너지가 없어요. 대신 어떤 파수 k라도 허용되고, 각 평면파는 ω(k) = ℏk²/2m이라는 분산 관계로 진동해요. 여기서 신기한 일이 벌어져요. 파동의 마루는 위상 속도 vp로 천천히 흐르는데, 입자가 실제로 이동하는 속도는 그 두 배인 군속도 vg예요. 게다가 시간이 지나면 뭉쳐 있던 파동 다발이 점점 퍼져요. 마루부터 다발, 분산 곡선, 퍼짐까지 차례로 눈으로 따라가 봐요.
먼저 평면파 하나만 봐요. Re(ψ) = cos(kx − ωt)는 끝없이 이어지는 물결이에요. k 슬라이더로 물결의 촘촘함을 바꾸고, 시간 슬라이더로 마루를 앞으로 행진시켜요. 여기서 k = 2π/λ는 파수예요. 마루가 흐르는 속도가 위상 속도 vp = ℏk/2m으로 읽혀요. k를 키우면 마루가 더 빨리 달려가요.
이번엔 가까운 k들의 코사인을 여러 개 더해 다발 하나를 만들어요. 시간을 흘리면 두 속도가 갈라져요. 표시된 마루 하나는 위상 속도 vp로 천천히 가고, 다발 전체의 봉우리는 그 두 배인 군속도 vg로 앞서가요. 봉우리가 마루를 추월하는 게 눈에 보여요. 물질파에서는 늘 vg = 2vp이고, 입자가 진짜 옮겨 다니는 속도는 군속도예요.
두 속도의 정체는 분산 곡선 ω(k) = ℏk²/2m에 다 들어 있어요. 이 ω(k)는 진동수를 파수에 묶는 분산 진동수예요. 진동자의 ω도 아니고 맥놀이 진동수도 아니에요. 곡선 위 점을 드래그해 보세요. 그 점에서 곡선에 그은 접선의 기울기 dω/dk가 군속도 vg이고, 원점에서 그 점까지 그은 직선의 기울기 ω/k가 위상 속도 vp예요. 포물선이라 접선이 항상 직선보다 두 배 가파르니, 읽어 보면 vg = 2vp가 확인돼요.
자유 입자는 가만히 있어도 시간이 지나면 퍼져요. |ψ(x,t)|²는 시간 슬라이더를 밀수록 넓어지고 납작해져요. 분산 곡선이 휘어 있어서, 즉 d²ω/dk² = ℏ/m이 0이 아니라서 생기는 일이에요. 처음 다발을 좁게 만들수록 더 빨리 퍼져요. 위치를 좁히면 운동량이 넓어진다는 불확정성과 정확히 연결돼요.
마지막으로 자유 입자와 상자를 나란히 봐요. 자유 입자는 어떤 k라도 허용돼서 E(k) = ℏ²k²/2m이 끊김 없는 연속 곡선이에요. 반면 갇힌 상자는 E ∝ n²으로 띄엄띄엄한 사다리만 허용돼요. 토글로 둘을 바꿔 보면, 자유는 매끈한 연속, 상자는 이산 계단이라는 차이가 분명해져요. 갇히면 양자화되고, 풀리면 연속이에요.