자유 입자는 군속도로 움직이고 퍼진다
갇히지 않은 자유 입자는 상자처럼 칸으로 나뉜 에너지가 없다. 어떤 파수 k라도 허용되고, 각 평면파는 ω(k) = ℏk²/2m이라는 분산 관계로 진동한다. 마루는 위상 속도로 천천히 흐르고, 입자가 실제로 가는 속도는 그 두 배인 군속도다. 시간이 지나면 뭉쳐 있던 다발이 점점 퍼져요. 마루에서 다발, 분산 곡선, 퍼짐으로 따라간다.
먼저 평면파 하나만 본다. Re(ψ) = cos(kx − ωt)는 끝없이 이어지는 물결이다. k로 물결의 촘촘함을 바꾸고, 시간으로 마루를 앞으로 보낸다. 파수 k 가 물결을 정하고, 여기서 k = 2π/λ는 파수다. 마루가 흐르는 속도가 위상 속도 vp = ℏk/2m으로 읽히고, k를 키우면 마루가 더 빨리 달려가요.
가까운 k들의 코사인을 여러 개 더해 다발 하나를 만든다. 시간을 흘리면 두 속도가 갈라진다. 표시된 마루는 위상 속도로 천천히 가고, 다발의 봉우리는 그 두 배인 군속도 vg로 앞선다. 봉우리가 마루를 추월하는 것이 보여요. 물질파에서는 늘 vg = 2vp이고, 입자가 진짜 옮겨 다니는 속도는 군속도다.
두 속도의 정체는 분산 곡선 ω(k) = ℏk²/2m에 들어 있다. 이 ω(k)는 진동수를 파수에 묶는 분산 진동수이지, 진동자의 ω도 맥놀이의 진동수도 아니에요. 곡선 위 점을 옮기면 접선의 기울기가 군속도 vg이고, 원점에서 그 점까지의 기울기가 위상 속도다. 포물선이라 접선이 직선보다 두 배 가팔라, vg = 2vp가 확인돼요.
자유 입자는 가만히 있어도 시간이 지나면 퍼진다. |ψ(x,t)|²는 시간을 밀수록 넓어지고 납작해져요. 분산 곡선이 휘어 있어서, 곧 d²ω/dk² = ℏ/m이 0이 아니라서 생기는 일이다. 처음 다발을 좁게 만들수록 더 빨리 퍼져요. 위치를 좁히면 운동량이 넓어진다는 불확정성과 이어진다.
자유 입자와 상자를 나란히 본다. 자유 입자는 어떤 k라도 허용되어 E(k) = ℏ²k²/2m이 끊기지 않는 연속 곡선이에요. 갇힌 상자는 E ∝ n²으로 띄엄띄엄한 사다리만 허용한다. 둘을 바꾸면 자유는 매끈한 연속, 상자는 이산 계단이라는 차이가 분명해져요. 갇히면 양자화되고, 풀리면 연속이다.