시간이 흐르면 위상이 돌고 겹친 상태는 출렁인다
지금까지의 파동함수는 시간이 멈춘 사진이었다. 그 사진을 움직이는 엔진이 시간 의존 슈뢰딩거 방정식 iℏ ∂Ψ/∂t = HΨ다. H는 전체 에너지를 맡는 해밀토니안이다. 에너지가 정해진 정상상태는 모양 |ψ|²은 둔 채 위상 e−iEt/ℏ만 돌아요. 에너지가 다른 두 상태를 겹치면 위상이 엇갈리며 확률이 좌우로 출렁이기 시작한다. 첫 그림은 시간을 당겨 정상상태의 위상이 도는 모습에서 시작한다.
정상상태 하나는 Ψ(x,t) = ψ(x) e−iEt/ℏ로 시간을 따라간다. 실수부 Re(Ψ)는 시간이 가면 부호까지 뒤집히며 출렁이지만, 확률밀도 |Ψ|²는 움직이지 않는다. 위상의 크기는 언제나 1이라 제곱하면 사라지기 때문이다. 시간과 양자수 n을 바꾸면, 어떤 정상상태든 도는 것은 위상뿐이고 모양은 멈춰 있다는 것이 보여요.
에너지가 다른 두 정상상태 ψ₁과 ψ₂를 진폭 c₁, c₂로 섞는다. |Ψ|²을 펼치면 c₁ψ₁과 c₂ψ₂ 각각의 제곱에 더해, 둘이 만나는 간섭항 2 Re[c₁c₂* ψ₁ψ₂* e−i(E₁−E₂)t/ℏ]이 나와요. 이 항이 시간에 따라 부호를 바꾸며 확률 덩어리를 좌우로 민다. 두 진폭의 비를 바꾸고 시간을 당기면, 섞임이 고를수록 출렁임이 커진다. ω=(E₂−E₁)/ℏ는 두 위상의 엇박이 만드는 맥놀이 진동수이고, 진동자의 ω도 분산의 ω(k)도 아니다.
출렁임이 한 번 왕복하는 시간을 맥놀이 주기라 부른다. 식은 T = h/(E₂−E₁)이라, 두 에너지의 간격이 클수록 주기가 짧아져요. 간격 (E₂−E₁)을 키우면 T가 줄고 ω=(E₂−E₁)/ℏ가 커지는 것을 두 수로 읽을 수 있다. 여기 T는 출렁임의 주기이고, 터널링의 투과 확률 T가 아니에요. 에너지가 멀수록 빨리 출렁이고, 두 에너지가 같아지면 출렁임이 멈춘다.
출렁임이 생기는 이유를 두 시곗바늘로 그린다. 진폭 c₁, c₂가 각 바늘의 길이고, 두 바늘은 자기 에너지 E₁, E₂에 비례하는 속도로 돌아요. 간섭항은 두 바늘의 상대 각도, 곧 (E₂−E₁)t/ℏ에만 달려 있다. 두 바늘이 같은 방향을 가리키면 확률이 한쪽으로 쏠리고, 반대를 가리키면 다른 쪽으로 쏠려요. 시간을 돌리면 빠른 바늘이 느린 바늘을 한 바퀴 따라잡을 때마다 맥놀이 한 번이 끝난다.
두 상태를 섞은 입자의 평균 위치 ⟨x⟩(t)를 시간축에 그리면 사인 곡선이 나온다. 출렁이는 확률 덩어리의 무게중심이 좌우로 왕복하는 것이 이 진동이에요. 진동수는 맥놀이 ω=(E₂−E₁)/ℏ이고, 진폭은 두 진폭의 곱 c₁c₂에 비례한다. 한쪽만 있으면 곱이 0이라 평균이 가만히 있고, 둘이 고르게 섞이면 곱이 가장 커서 가장 크게 흔들려요. 섞임을 바꾸면 진폭이 자라고 줄어드는 것이 보인다.