가두면 에너지가 띄엄띄엄해진다

양쪽 벽에서 ψ는 반드시 0이다. 허용되는 모양은 ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L)뿐이고, 양 끝이 0인 정상파다. n을 1, 2, 3, 4로 올리면 마디(node)가 하나씩 늘어난다. n번째 상태는 안에 n-1개의 마디를 두고, 끝이 벽에 묶여 있어요.

각 정상파의 에너지를 사다리로 본다. 여기서 에너지는 Eₙ, 곧 에너지 준위이고 아래 첨자 n이 몇 번째 칸인지를 알려 준다. 전기장 E와는 다른 양이라, 이건 띄엄띄엄한 준위다. Eₙ ∝ n²이라 칸이 1, 4, 9, 16 비율로 벌어지고, n을 고르면 그 가로대가 강조된다. 위로 갈수록 간격이 넓어져요.

왜 정수만 허용될까요. 상자 안에는 반파장이 정수 번 들어맞아야 한다. n번째 상태는 반파장이 n개라 파장이 λₙ = 2L/n으로 정해져요. 반파장 개수를 바꾸면 양 끝이 0인 모양은 정수일 때만 생긴다. 경계조건이 파장을 양자화하고, 파장이 정해지면 에너지도 양자화돼요.

가장 낮은 n=1을 바닥 상태라 부른다. 마디가 없는 단순한 봉우리지만 에너지가 0은 아니고 최소값 E₁을 가져요. 이를 영점 에너지라 한다. 상자 너비 L을 줄이면 E₁ ∝ 1/L²이라 좁아질수록 바닥이 빨리 솟아요. ℏ = h/2π를 쓰면 E₁ = π²ℏ²/(2 m L²)이고, 가둘수록 에너지가 0이 되지 못한다.

하나의 정수 n이 전부를 정한다. n을 정하면 봉우리 수와 마디 수(n-1), 그리고 에너지 Eₙ ∝ n²이 함께 정해져요. n을 올렸다 내리면 세 값이 같이 움직인다. 정수 하나가 각 상태에 이름을 붙이므로 이를 양자수라 불러요.