가두면 에너지가 띄엄띄엄해진다

상자 양쪽 벽에서 ψ는 반드시 0이에요. 그래서 허용되는 모양은 ψₙ(x) = √(2/L)·sin(n π x / L)처럼 양 끝이 0인 정상파뿐이에요. n을 1, 2, 3, 4로 바꿔보면 마디(node)가 한 개씩 늘어나는 게 보여요. n번째 상태는 안쪽에 n-1개의 마디를 갖고, 벽에 못 박힌 듯 끝이 묶여 있어요.

이제 각 정상파가 가진 에너지를 사다리로 봐요. 여기 처음 나오는 에너지는 Eₙ(에너지 준위)라고 쓰는데, 아래 첨자 n이 몇 번째 칸인지 알려줘요. 같은 글자 E를 쓰는 전기장 E와는 다른 양으로, 이건 띄엄띄엄한 에너지 준위예요. Eₙ ∝ n²이라서 칸이 1, 4, 9, 16 비율로 벌어지고, n을 고르면 그 가로대가 강조돼요. 위로 갈수록 칸 간격이 점점 넓어지는 게 보여요.

왜 하필 정수만 허용될까요? 상자 안에는 반파장이 정수 개수로 들어맞아야 해요. n번째 상태는 반파장이 n개 들어가니까, 파장은 λₙ = 2L/n으로 정해져요. 슬라이더로 반파장 개수를 바꿔보면, 양 끝이 0인 모양은 정수 개수일 때만 만들어져요. 이렇게 경계조건이 λ를 양자화하고, λ가 정해지면 에너지도 따라서 양자화돼요.

가장 낮은 상태인 n=1을 바닥 상태라고 불러요. 마디가 하나도 없는 가장 단순한 봉우리지만, 에너지가 0이 아니라 최소값 E₁을 가져요. 이걸 영점 에너지라고 해요. 슬라이더로 상자 너비 L을 줄여보면, E₁ ∝ 1/L²이라서 상자가 좁아질수록 바닥 에너지가 빠르게 솟아요. ℏ = h/2π를 써서 E₁ = π²ℏ²/(2 m L²)이고, 가둘수록 에너지가 절대 0이 될 수 없게 강요돼요.

결국 하나의 정수 n이 모든 걸 한꺼번에 정해요. n을 정하면 파형의 봉우리 수, 마디 수(n-1), 그리고 에너지 Eₙ ∝ n²이 한 번에 결정돼요. 스테퍼로 n을 올렸다 내리면 세 가지 값이 동시에 같이 바뀌는 게 보여요. 이렇게 정수 하나가 허용된 각 상태에 이름을 붙여줘서, 이걸 양자수라고 불러요.