위치와 운동량은 동시에 좁힐 수 없다

위치가 또렷한 입자는 공간 속 작은 봉우리다. 가우스 파속의 확률밀도 |ψ(x)|²를 그려 두고 폭을 바꾼다. 폭을 줄이면 봉우리가 좁고 높아지고, 키우면 넓고 낮아진다. 넓이는 언제나 1로 묶여 있어서 좁힐수록 키가 솟는다. 폭을 0에 붙여 완벽한 한 점을 만들려 하면 봉우리는 한없이 치솟아 물리적으로 불가능해지고, 이것이 위치를 끝없이 좁힐 수 없다는 첫 신호예요.

같은 폭이 위치 퍼짐과 운동량 퍼짐을 함께 정한다. 가우스 파속에서는 위치 퍼짐이 폭에 비례하고, 운동량 퍼짐은 1/σ에 비례해 ℏ/(2σ)예요. 폭을 줄이면 위치 막대는 줄고 운동량 막대는 그만큼 솟으며, 두 막대의 곱은 같은 값에 머문다. 하나의 폭이 두 퍼짐을 같이 정하는 것은 둘이 한 뿌리의 짝이기 때문이고, 짧은 소리일수록 음높이가 흐려지는 일과 같은 맞바꿈이에요.

이 한계를 한 줄로 쓰면 하이젠베르크 관계 Δx·Δp ≥ ℏ/2다. 여기서 ℏ = h/2π는 줄여 쓴 플랑크 상수예요. 경계 Δp = ℏ/(2Δx)을 긋고 아래를 칠하면, 점은 곡선 위나 위에는 앉을 수 있어도 칠해진 아래로는 들어가지 못한다. 가우스 파속은 그 경계 위에 정확히 놓여요. 이 바닥은 측정이 서툴러서가 아니라 자연이 정해 둔 것이라, 전자가 핵으로 완전히 떨어지지 않고 원자가 찌부러지지 않는 이유도 여기 있다.

왜 좁히면 운동량이 흐려질까요. 위치가 또렷한 봉우리는 여러 파수의 평면파를 더해 만든다. 더하는 파동의 개수 N을 늘려 본다. 하나만 있으면 끝없이 반복되는 파동이라 위치가 없고, 여럿을 더할수록 x = 0 근처에서만 보강되어 봉우리가 또렷해져요. 좁게 가두려면 그만큼 많은 파수가 필요하다. 더한 파수들이 넓게 퍼져 있다는 것은 운동량이 넓게 퍼져 있다는 뜻이라, 좁은 봉우리를 만드는 바로 그때 운동량의 흐림이 함께 온다.

위치 묘사와 운동량 묘사는 같은 입자를 보는 두 언어이고, 둘은 푸리에 변환으로 짝이다. 왼쪽은 위치의 가우스, 오른쪽은 운동량의 가우스인데 폭이 서로 역수예요. 위치 폭을 줄이면 왼쪽이 좁아지는 대신 오른쪽이 σp = 1/(2σx)로 넓어진다. 한쪽을 또렷이 하면 다른 쪽이 흐려지는 이유가 이 역수 관계예요. 폭이 역수인 푸리에 짝은 양자만의 일이 아니라 모든 파동의 성질이고, 자연이 입자마저 파동으로 적었기에 불확정성이 물질의 법칙이 된 것이다.