위치와 운동량은 동시에 좁힐 수 없다

위치가 또렷한 입자는 공간 속 작은 봉우리 하나예요. 가우스 파속의 확률밀도 |ψ(x)|²를 그려두고 폭 σ를 슬라이더로 바꿔봐요. σ를 줄이면 봉우리가 좁고 높아지고, 키우면 넓고 낮게 퍼져요. 넓이는 늘 1로 고정돼 있어서, 좁힐수록 그만큼 키가 솟아요. 폭을 0에 가깝게 줄여 완벽한 한 점을 만들려 하면 봉우리는 한없이 치솟아 물리적으로 불가능해지는데, 이것이 위치를 무한정 좁힐 수 없다는 첫 신호예요.

같은 σ가 위치 퍼짐 Δx와 운동량 퍼짐 Δp를 동시에 정해요. 가우스 파속에서는 Δx가 σ에 비례하고, Δp는 1/σ에 비례해서 ℏ/(2σ)예요. 슬라이더로 σ를 줄이면 Δx 막대는 줄지만 Δp 막대는 그만큼 솟아요. 두 막대의 곱 Δx·Δp는 늘 같은 값에 머물러요. 하나의 σ가 두 퍼짐을 한꺼번에 정하는 건 위치와 운동량이 한 뿌리에서 나온 짝이기 때문이고, 아주 짧은 소리일수록 음높이가 흐릿해지는 현상과 똑같은 맞바꿈이에요.

이 한계를 한 줄로 적으면 하이젠베르크 관계 Δx·Δp ≥ ℏ/2예요. 여기서 ℏ = h/2π는 작게 줄인 플랑크 상수죠. 경계 곡선 Δp = ℏ/(2Δx)을 그리고 그 아래를 색칠하면, 점은 곡선 위나 위쪽에는 앉을 수 있어도 색칠된 아래로는 절대 못 들어가요. 가우스 파속은 바로 그 경계선 위에 정확히 놓여요. 이 한계는 측정이 서툴러서가 아니라 자연이 정해 둔 바닥이라서, 전자가 핵으로 완전히 떨어지지 못하고 원자가 찌부러지지 않는 이유도 바로 여기에 있어요.

왜 좁히면 운동량이 흐려질까요. 위치가 또렷한 봉우리는 여러 파수의 평면파를 더해서 만들어요. 슬라이더로 더하는 파동 개수 N을 늘려봐요. 하나만 있으면 끝없이 반복되는 파동이라 위치가 없고, 여럿을 더할수록 x = 0 근처에서만 보강돼 봉우리가 또렷해져요. 좁게 가두려면 그만큼 많은 파수가 필요해요. 더한 파수들이 넓게 퍼져 있다는 것은 곧 운동량이 넓게 퍼져 있다는 뜻이라, 좁은 봉우리를 만드는 바로 그 순간 운동량의 흐릿함이 함께 딸려 와요.

위치 묘사와 운동량 묘사는 같은 입자를 보는 두 언어이고, 둘은 푸리에 변환으로 짝지어져 있어요. 왼쪽은 위치 공간의 가우스, 오른쪽은 운동량 공간의 가우스인데 폭이 서로 역수예요. σx를 줄이면 왼쪽이 좁아지는 대신 오른쪽이 σp = 1/(2σx)로 넓어져요. 한쪽을 또렷이 하면 다른 쪽이 흐려지는 이유가 바로 이 역수 관계예요. 폭이 서로 역수인 이 푸리에 짝 관계는 양자에만 있는 게 아니라 모든 파동이 지닌 성질이고, 자연이 입자마저 파동으로 적어 두었기에 불확정성이 물질의 근본 법칙이 된 거예요.