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전기기사 회로이론 · 회로의 전달함수

Transfer Function & Laplace Transform

전달함수는 초기값을 0 으로 두고 라플라스 영역에서 출력을 입력으로 나눈 비로, 시스템이 입력에 어떻게 반응하는지를 한 식에 담는다. 미분 방정식이 s 의 대수식으로 바뀌어, 분모를 0 으로 만드는 극의 위치와 2차 표준형의 ωₙ · ζ 로 응답의 모양을 읽을 수 있다. 정상 상태 값은 최종값 정리로 바로 확인하고, 부분분수로 나눠 변환표에서 거꾸로 찾으면 시간 응답이 나와요. 고유 진동수와 감쇠비 슬라이더를 움직이면 s 평면의 극 위치와 계단 응답의 오버슈트 · 진동이 함께 바뀌어요.

라플라스 변환: 미분 방정식을 곱셈으로 바꾸기

🔍 왜 라플라스 변환일까
①회로의 과도 현상은 미분 방정식을 푸는 일이라, 손으로 풀면 꽤 복잡하다
②라플라스 변환은 시간 t 영역의 미분을 s 영역의 곱셈으로 바꿔 준다
③로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸듯, 라플라스 변환은 미분을 곱셈으로 바꿔요
⚡ 라플라스 변환의 핵심 성질
①미분 정리: ℒ{f'(t)} = sF(s) − f(0⁻) 이라 미분이 s 를 곱하는 일이 된다
②적분 정리: ℒ{∫f(t)dt} = F(s)/s 라 적분이 s 로 나누는 일이 된다
③초기값 f(0⁺) = lim(s→∞) sF(s), 최종값 f(∞) = lim(s→0) sF(s) 예요

자주 쓰는 라플라스 변환 쌍

단위 계단
ℒ{u(t)} = 1s
u(t) 는 t ≥ 0 에서 1, t < 0 에서 0 이다. 회로에 전원을 켜는 순간을 나타내요.
t의 거듭제곱
ℒ{tn} = n!sn+1
ℒ{t} = 1/s², ℒ{t²} = 2/s³. 계단, 램프, 포물선 순으로 이어진다.
🔑 실전에서 자주 쓰는 변환
①단위 계단과 t 의 거듭제곱이 기본이고, 아래 셋(지수 감쇠 · 정현파 · 감쇠 정현파)이 시험의 핵심이다
②감쇠 정현파는 2차 시스템의 과도 응답에 바로 이어져요
지수 감쇠
ℒ{e−at} = 1s + a
a > 0 이면 시간이 갈수록 0 으로 줄어든다. RC · RL 회로의 기본 응답이에요.
정현파
ℒ{sin ωt} = ωs2 + ω2
ℒ{cos ωt} = s/(s²+ω²). 교류 전원의 라플라스 표현이다.
감쇠 정현파
ℒ{e−at sin ωt} = ω(s+a)2 + ω2
부족 감쇠 RLC 회로의 자유 응답 꼴이다. 이동 정리로 s 를 s+a 로 바꾸면 된다.

전달함수

5 rad/s
0.4
2차 시스템 전달함수
H(s) = ωn2s2 + 2ζωn s + ωn2
ωₙ: 고유 진동수, ζ: 감쇠비. 분모를 0 으로 만드는 근이 극(pole)이고, 응답의 특성을 정한다.
1차 시스템 전달함수
G(s) = Kτs + 1
K: 이득, τ: 시정수. RL(τ = L/R) 이나 RC(τ = RC) 회로가 대표적인 1차 시스템이에요.
🔑 극의 위치와 시스템 특성
①극이 좌반면(Re < 0)에 있으면 안정하고, 응답이 시간이 지나면 0 으로 수렴한다
②극이 허수축에 가까울수록(ζ 가 작을수록) 진동이 심하다
③극이 원점에서 멀수록(ωₙ 이 클수록) 응답이 빨라요

s 영역 회로 해석과 부분분수 전개

s 영역 소자 임피던스
R → R, L → sL(초기: LI(0)), C → 1sC(초기: V(0)s)
시간 영역 소자를 s 영역으로 바꾼다. 초기 조건은 전압원 · 전류원으로 들어간다.
부분분수 전개
F(s) = A/(s+a) + B/(s+b) + ... → f(t) = Ae⁻ᵃᵗ + Be⁻ᵇᵗ + ...
복잡한 F(s) 를 간단한 분수의 합으로 나누면, 각 항을 변환표에서 바로 거꾸로 찾을 수 있다.
중근이 있을 때
A/(s+a)² → A·t·e⁻ᵃᵗ
중근(임계 감쇠)일 때는 t·e⁻ᵃᵗ 항이 나온다.
💡 부분분수 계수 구하기: 헤비사이드 방법
①단근이면 A = [(s+a)·F(s)]_{s=−a} 로, 그 극을 넣으면 계수가 바로 나온다
②복소 극은 켤레 쌍을 묶어 2차식으로 다루고, 감쇠 정현파로 역변환한다
③시험에서는 부분분수로 나눈 뒤 변환표로 역변환하는 풀이가 핵심이에요

총정리

📋 라플라스와 전달함수 핵심 요약
①라플라스 정의와 미분 정리로 미분 방정식을 대수식으로 바꾼다
②전달함수 G(s) 의 극이 안정도를, 최종값 정리가 정상 상태를 정한다
라플라스 정의
F(s) = ∫₀∞ f(t)e⁻ˢᵗ dt
s = σ + jω
미분 정리
ℒ{f'} = sF(s) − f(0⁻)
미분 → s 를 곱함
🔑 라플라스 변환의 핵심
변환의 정의와 미분 정리를 알면 전달함수를 구할 수 있고, 최종값 정리로 정상 상태를 확인한다
전달함수
H(s) = Y(s)/X(s)
출력 / 입력(초기값 = 0)
최종값 정리
f(∞) = lim sF(s)
s → 0, 안정한 시스템에만 쓴다
🎯 시험 포인트
①ℒ{1} = 1/s, ℒ{t} = 1/s², ℒ{tⁿ} = n!/s^(n+1) 은 꼭 기억해 둔다
②이동 정리: ℒ{e⁻ᵃᵗf(t)} = F(s+a), 곧 s 를 s+a 로 바꾼다
③초기값 f(0⁺) = lim(s→∞)sF(s), 최종값 f(∞) = lim(s→0)sF(s) 이고, 최종값 정리는 안정한 계에서만 쓸 수 있어요
④s 영역 소자는 R → R, L → sL, C → 1/(sC) 이고 초기 조건은 전원으로 들어간다
⑤1차계 G(s) = K/(τs+1), 2차계 G(s) = ωn²/(s²+2ζωns+ωn²) 의 꼴을 기억해 둔다
⑥전달함수의 극은 특성 방정식의 근이고, 모든 극의 실수부가 0 보다 작으면 안정하다
⑦부분분수로 나눈 뒤 역변환하는 것이 시험의 핵심 풀이예요
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