전달함수와 일반화 임피던스
극점 하나가 과도와 차단을 함께 정한다
RC 저역통과를 일반화 임피던스로 보면 H(s) = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1+sRC)다. 분모를 0으로 만드는 극점은 s = −1/(RC) = −1/τ로, s-평면의 음의 실수축에 놓인다. 시정수 τ를 밀어 극점을 목표 s = −2에 맞춰라. 그 극점이 곧 과도의 빠르기 e^(−t/τ)이자 주파수 차단 ω_c = 1/τ다.
jω를 s로 넓힌다
정현파 정상상태에서 임피던스는 jω로 적었다. 인덕터는 jωL, 커패시터는 1/jωC다. 이 jω를 복소주파수 s = σ + jω로 일반화하면, 인덕터는 sL, 커패시터는 1/sC가 된다. s = jω로 두면(σ=0) 정현파 정상상태로 그대로 돌아오고, s가 실수부 σ를 가지면 커지거나 사그라드는 과도까지 한 임피던스 안에 담긴다. 저항은 주파수와 무관하니 그대로 R이다. 이 한 번의 넓힘이 정상상태와 과도를 같은 언어로 묶는다.
회로는 s의 전압 분배
일반화 임피던스로 보면 직렬로 이은 두 소자는 여전히 전압 분배기다. RC 저역통과에서 출력을 커패시터 양단에서 뽑으면 H(s) = Vout/Vin = Z_C/(Z_R + Z_C) = (1/sC)/(R + 1/sC)다. 분자와 분모에 sC를 곱해 정리하면 H(s) = 1/(1 + sRC)가 된다. 전압 분배 한 줄이 그대로 회로의 전달함수다. 인덕터를 sL로 끼워 넣어도, 더 복잡한 회로라도, 임피던스로 적은 분배와 합성이 그대로 H(s)를 만든다.
한 식, 세 얼굴
전달함수 H(s) = 1/(1+sRC)는 세 가지로 읽힌다. 첫째, s = 0(DC)에서 H = 1이니 직류 이득은 1, 천천히 변하는 신호는 그대로 통과한다. 둘째, s = jω로 두면 H(jω) = 1/(1+jωRC)로, 크기가 ω = 1/RC에서 1/√2로 꺾이는 저역통과 주파수응답이다. 셋째, 분모를 0으로 만드는 극점 s = −1/RC가 과도를 정해, 스위치를 켜면 출력이 e^(−t/RC)로 자리잡는다. 같은 한 식이 DC 이득, 주파수 차단, 과도 시정수를 한꺼번에 담는다. 극점의 위치 하나가 회로의 모든 거동을 압축한 셈이다.
첫 화면으로 돌아가서
시정수 τ를 밀자 극점 s = −1/τ가 음의 실수축을 따라 움직였고, τ = 0.5에서 목표 s = −2에 닿았다. 그 극점 하나가 두 가지를 동시에 정했다. 시간에서는 출력이 e^(−t/τ)로 자리잡는 과도의 빠르기이고, 주파수에서는 ω = 1/τ에서 꺾이는 차단이다. jω를 s로 넓혀 커패시터를 1/sC로 본 덕분에 RC 저역통과가 전압 분배 한 줄 H(s) = 1/(1+sτ)로 적혔고, 그 한 식이 DC 이득과 주파수응답과 과도를 한꺼번에 품었다.