전기기사 회로이론 · 과도현상

Transient Response

스위치를 넣거나 연 직후 회로가 새 정상 상태에 닿기까지 지나는 짧은 구간을 과도현상이라 한다. RL · RC 같은 1차 회로는 시정수 τ 하나로, RLC 2차 회로는 감쇠비 ζ 와 고유 진동수 ωₙ 으로 응답의 모양이 정해진다. 2차 회로의 응답은 최대 오버슈트, 상승 시간, 정정 시간으로 견줘요. RL · RC 버튼과 τ 슬라이더를 움직이면 위 그림의 충전 곡선이, ζ · ωₙ 슬라이더를 움직이면 아래 그림의 계단 응답이 바뀌어요.

스위치를 넣은 직후 회로에서 일어나는 일

🔍 과도현상

①스위치를 넣거나 여는 순간부터 회로가 새 정상 상태로 옮겨 가는 동안 나타나는 일시적인 응답이다

②인덕터의 전류와 커패시터의 전압은 한순간에 바뀔 수 없어서, 값이 새 자리로 옮겨 가는 데 시간이 걸린다

③완전 응답 = 자유 응답(시간이 지나면 사라짐) + 강제 응답(정상 상태)이라, 충분히 기다리면 강제 응답만 남아요

1차 회로: RL · RC 의 시정수

시정수 τ1 s

RL 직렬 충전(전원 연결)

i(t) = (V/R)(1 − e⁽−t/τ)), τ = L/R

RL 회로에 직류 전압 V 를 걸면 전류가 0 에서 V/R 까지 지수 함수로 오른다. 시정수는 τ = L/R [s] 이다.

RL 방전(전원 제거)

i(t) = (V/R) e⁽−t/τ)

L 에 남은 자기 에너지가 R 에서 열로 바뀌며, 전류가 V/R 에서 0 으로 지수 함수로 줄어든다.

인덕터 저장 에너지

W = ½LI² [J]

L 에 전류 I 가 흐르면 자기 에너지가 쌓이고, 전류를 끊으면 이 에너지가 풀려나와요. 스위치를 갑자기 열 때 접점에 불꽃이 튀는 까닭이에요.

🔑 시정수 τ 가 뜻하는 것

①t = τ 에서 최종값의 63.2% 에 이른다. 처음 기울기로 곧게 그은 접선이 최종값에 닿는 때도 t = τ 이다

②3τ 에서 95%, 5τ 에서 99.3% 에 이르므로, 실무에서는 5τ 가 지나면 정상 상태로 본다

③τ 가 클수록 천천히 변한다. RL 에서는 L 이 크거나 R 이 작을수록, RC 에서는 R 이나 C 가 클수록 τ 가 커져요

2차 회로: RLC 의 감쇠와 진동

감쇠비 ζ0.3

고유 진동수 ωₙ4 rad/s

RLC 직렬 회로의 특성 방정식

s² + 2ζω_n s + ω_n² = 0, ω_n = 1√(LC)

ωₙ 은 저항이 없을 때의 고유 진동수, ζ 는 감쇠비다. 특성 방정식의 두 근이 실수인지 복소수인지가 ζ 로 갈려 응답의 모양이 달라진다.

감쇠비와 감쇠 진동수

ζ = R2 √(CL), ω_d = ω_n √(1 − ζ²)

ω_d 는 부족 감쇠일 때 실제로 진동하는 각주파수다. ζ = 1 이 되는 저항이 임계 저항 R_cr = 2√(L/C) 이에요.

⚡ 감쇠비에 따른 네 가지 응답

①ζ = 0(무감쇠): R = 0 인 이상적인 LC 회로라 진동이 끝없이 이어진다

②0 < ζ < 1(부족 감쇠): 진동하면서 줄어들고 오버슈트가 생긴다. 실제 회로에서 가장 흔한 응답이다

③ζ = 1(임계 감쇠): 진동하지 않는 응답 가운데 가장 빨리 정상 상태에 닿는다

④ζ > 1(과감쇠): 극이 서로 다른 실수 둘이라 진동은 없지만 천천히 다가가요

과도 응답의 성능 지표

최대 오버슈트

Mp = e^{−ζπ/√(1−ζ²)} × 100%

ζ < 1 일 때만 생기고 ζ 가 작을수록 커진다. ζ ≈ 0.707 이면 Mp ≈ 4.3% 다.

상승 시간과 정정 시간

t_r ≈ (π − θ)/ω_d (θ = cos⁻¹ζ), t_s ≈ 4/(ζωₙ) (2% 기준)

t_r 은 응답이 처음 최종값에 닿을 때까지, t_s 는 최종값의 ±2% 안에 들어와 머물 때까지 걸린 시간이에요.

미분 회로와 적분 회로

미분: v_R ≈ RC·dv/dt (τ ≪ T), 적분: v_C ≈ (1/RC)∫v dt (τ ≫ T)

RC 회로에서 τ 가 입력 주기 T 보다 훨씬 짧으면 R 양단 전압이 입력을 미분한 꼴이 되고, 훨씬 길면 C 양단 전압이 입력을 적분한 꼴이 돼요.

💡 설계에서 고르는 감쇠비

①ζ 를 줄이면 빨리 오르지만 오버슈트와 진동이 커진다

②ζ 를 키우면 오버슈트는 없어지지만 정상 상태까지 오래 걸린다

③ζ ≈ 0.707(= √2/2) 이면 오버슈트가 4.3% 쯤에 그치면서 응답도 빨라, 시험에 자주 나와요

총정리

📋 과도현상 핵심 공식

①1차 회로의 응답 속도는 시정수가 정한다. RL 은 τ = L/R, RC 는 τ = RC 다

②2차 RLC 회로는 감쇠비 ζ 에 따라 과감쇠 · 임계 감쇠 · 부족 감쇠 · 무감쇠 네 가지 응답으로 나뉜다

RL 시정수

τ = L/R

i = (V/R)(1−e⁽−t/τ))

RC 시정수

τ = RC

v_C = V(1−e⁽−t/τ))

🔗 1차 회로와 2차 회로

1차(RL · RC)는 시정수 τ 하나로 응답이 정해지고, 2차(RLC)는 감쇠비 ζ 가 응답의 모양을 정해요

RLC 감쇠비

ζ = R/(2√(L/C))

ωₙ = 1/√(LC)

오버슈트

Mp = e^{−ζπ/√(1−ζ²)}

ζ < 1일 때만

🎯 시험 포인트

①시정수 τ 는 RL 이 L/R, RC 가 RC 다. 충전은 (1 − e^(−t/τ)), 방전은 e^(−t/τ) 꼴이다

②저장 에너지는 인덕터 W = ½LI², 커패시터 W = ½CV² 이고 단위는 J 다

③1τ 에서 63.2%, 5τ 에서 99.3% 에 이르러 5τ 를 정상 상태로 본다

④RLC 직렬: ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)√(C/L), ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)

⑤임계 저항 R_cr = 2√(L/C) 보다 R 이 크면 과감쇠, 작으면 부족 감쇠예요

⑥ζ ≈ 0.707 이면 Mp ≈ 4.3% 로, 빠르면서 오버슈트가 작다

⑦τ ≪ T 이면 미분 회로, τ ≫ T 이면 적분 회로로 쓴다(T 는 입력 주기)

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마지막 수정 2026-10-20

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