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전기기사 전기자기학 · 가우스 법칙

Gauss's Law

폐곡면을 뚫고 나가는 전속의 총량은 면의 크기와 상관없이 그 안에 든 전하량과 같다. 이것이 가우스 법칙이고, 대칭에 맞는 가우스면을 고르면 D 를 적분 밖으로 꺼낼 수 있어 어려운 전계 계산이 곱셈 한 번으로 끝난다. 점전하는 구면으로 감싸 D·4πr² = Q, 무한 선전하는 원통으로 감싸 D·2πρℓ = λℓ 처럼 도형만 바꾸면 같은 논리가 그대로 통한다. 반지름 슬라이더로 금색 점선 가우스면을 키우거나 줄여도 면을 뚫는 전기력선의 수는 그대로이고, 아래 식이 그 계산을 적어 둔다.

가우스 법칙의 핵심

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🎈 핵심 생각
금색 점선 원이 가우스면이고, 그 면을 뚫고 나가는 전기력선의 총량은 면의 크기와 상관없이 안쪽 전하량과 같다. 반지름을 키우면 면은 넓어지지만 지나가는 선의 수는 16 개 그대로이고, 그만큼 선 사이가 벌어져 D 가 약해진다.
가우스 법칙
∮ D · dS = Q
폐곡면을 뚫는 전속 = 그 안에 감싸인 전하량

가우스면 고르기

🎯 가우스면을 잘 고르는 것이 관건
가우스 법칙은 어떤 폐곡면에서나 성립하지만, 손으로 풀려면 대칭에 맞는 면을 골라야 한다. 조건은 하나다: 가우스면 위에서 D 의 크기가 일정하고 면에 수직이어야 D 를 적분 밖으로 꺼낼 수 있다.
💡 풀이 순서(3단계)
①대칭을 보고 가우스면을 고른다
②D 를 적분 밖으로 꺼내 ∮D·dS = D × (가우스면 넓이) 로 만든다
③이것을 안쪽 전하 Q 와 같게 놓고 D 를 구한다

구 대칭(점전하)

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📐 구 대칭 풀이
점전하 Q 를 감싼 구면 위에서는 어느 점에서나 D 의 크기가 같고, 초록 화살표 dS 처럼 면에 수직인 방향과 D 가 나란하다. 그래서 D·dS = D dS 이고, 적분하면 D × 4πr² = Q 가 된다.
구 대칭 결과
D = Q4πr2, E = Q4πε0 r2
쿨롱의 법칙과 같은 결과를 가우스 법칙으로 얻었다

원통 대칭(선전하)

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📐 원통 대칭 풀이
무한 선전하 λ 를 감싼 원통에서 D 는 옆면에 수직으로 나가고(D ∥ dS), 위아래 뚜껑에서는 면과 나란해(D ⊥ dS) 보탬이 없다. 그래서 옆면 넓이만 남아 D × 2πρℓ = λℓ 이다.
원통 대칭 결과
D = λ2πρ, E = λ2πε0 ρ
1/ρ 에 비례한다. 점전하의 1/r² 와 다르다
무한 평면 전하
D = σ2, E = σ2ε0
홀로 놓인 면전하는 양쪽으로 D = σ/2 씩 나간다. 도체 표면은 한쪽으로만 D = σ 이고, 자세한 내용은 도체계 전하 분포 장에서 다룬다

시험 포인트 정리

가우스 법칙(적분형)
∮ D·dS = Q
폐곡면 전속 = 안쪽 전하
가우스 법칙(미분형)
∇·D = ρv
발산의 정리로 적분형에서 얻는다
D 와 E 의 관계
D = εE = ε0 εs E
전속밀도와 전계의 관계다. 유전체에서는 ε = ε₀εs 이다
💡 전하밀도 세 가지
①체적전하밀도 ρ_v [C/m³]: 공간에 퍼진 전하
②면전하밀도 σ [C/m²]: 면에 퍼진 전하
③선전하밀도 λ [C/m]: 선을 따라 퍼진 전하
🎯 시험 포인트
①풀이의 대부분은 대칭에 맞는 가우스면을 고르는 데서 결정된다
②D 로 먼저 풀고 D = ε₀E 로 E 를 구한다
③점전하는 1/r², 선전하는 1/ρ, 면전하는 거리와 상관없는 상수로 줄어드는 꼴이 다르다
④홀로 놓인 면은 양쪽으로 D = σ/2, 도체 표면은 한쪽으로 D = σ 다. 도체 안 E = 0 은 도체계 장에서 다룬다
⑤전하가 없는 곳에서는 ∇·D = 0 이다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 반지름 a 인 구도체에 전하 Q 가 있을 때 r > a 에서 E 를 구하시오. (답: E = Q/4πε₀r²)
②[기출유형] 선전하밀도 5 nC/m 인 무한 직선에서 2 m 떨어진 곳의 전계를 구하시오. (답: E = λ/2πε₀ρ = 5×10⁻⁹ / (2π × 8.854×10⁻¹² × 2) ≈ 45 V/m)
③[기출유형] 면전하밀도 σ 인 무한 평면의 전계가 거리와 상관없는 까닭을 설명하시오. (답: 가우스면으로 상자를 잡으면 전속이 뚫고 나가는 넓이가 거리와 관계없이 양쪽 뚜껑 넓이 2A 뿐이라 D·2A = σA, 곧 E = σ/2ε₀ 로 거리가 식에 남지 않는다)
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