전기장과 가우스 법칙

Electric Field and Gauss's Law

가우스 법칙의 직관

🎈 풍선으로 이해하기

①전하를 풍선으로 감싸면, 풍선을 관통하는 전기력선의 총 수는 일정합니다

②풍선의 크기나 모양을 바꿔도 관통하는 총 선속은 변하지 않습니다!

③이것이 가우스 법칙: 닫힌 면의 전기선속 = 내부 전하/ε₀

가우스 면과 전기선속

전하 Q4 C

💡 핵심 관찰

①전하가 클수록 면을 관통하는 선속(화살표)이 많아집니다

②양전하: 바깥으로 나가는 선속, 음전하: 안으로 들어오는 선속

③면 밖의 전하는 총 선속에 영향을 주지 않습니다!

가우스 법칙 공식

가우스 법칙

∮ E · dA = Qε₀

닫힌 면의 전기선속 = 내부 전하 / 진공 유전율

대칭 구면 적용

E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQr²

구 대칭일 때 가우스 법칙으로 쿨롱 법칙을 유도!

🔑 가우스 법칙의 위력

①대칭성이 좋은 문제를 매우 간단하게 풀 수 있습니다

②구 대칭: 점전하, 균일 대전 구

③원통 대칭: 무한 직선 전하, 동축 원통

예제로 익히기

예제 1

닫힌 가우스 면 내부에 +2Q와 −Q의 전하가 들어 있을 때, 이 면을 통과하는 총 전기선속은?

가우스 법칙에서 총 선속은 내부 알짜 전하에만 의존한다.

Φ = Q_encε₀

내부 알짜 전하 Q_enc = 2Q − Q = Q를 대입한다.

Φ = 2Q - Qε₀ = Qε₀

▸ Q/ε₀

총 선속은 면 내부 알짜 전하만으로 정해진다. 부호가 다른 전하는 합산(상쇄)한다.

예제 2

점전하 Q를 감싼 구형 가우스 면의 반지름을 2배로 키우면 면을 통과하는 총 전기선속은 어떻게 변하는가?

가우스 법칙은 면의 모양·크기와 무관하게 내부 전하만 본다.

Φ = Qε₀ (r 무관)

내부 전하 Q가 그대로이므로 선속도 그대로다.

Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)

▸ 변하지 않는다

총 선속은 면의 크기에 무관(전하만 의존). 단, 면 위의 전기장 E는 r²에 반비례해 감소한다 — 둘을 구분할 것.

총정리

가우스 법칙 (핵심)

∮ E · dA = Q_enc / ε₀

ε₀ = 8.85×10⁻¹² C²/(N·m²)

수능 유형 변형

진공 중 점전하 Q로부터 거리 r에서의 전기장이 E일 때, 거리 2r에서의 전기장은?

①2E

②E2

③E4

④4E

⑤E

▸ ③ E4

가우스 법칙(구 대칭)으로 E = kQ/r², 거리의 제곱에 반비례한다.

E = kQr²

r이 2배면 r²은 4배 → E는 1/4배.

E(2r) = kQ(2r)² = E4

🎯 시험 포인트

①가우스 법칙: ∮E·dA = Q/ε₀ (닫힌 면의 총 선속)

②가우스 면 선택: 대칭성을 이용하여 E가 일정한 면 선택

③구 대칭 → 구형 가우스 면 → E = kQ/r²

④도체 내부 전기장 = 0 (전하는 표면에만!)

⑤가우스 법칙은 쿨롱 법칙과 수학적으로 동일

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