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고등학교 2~3학년 (16-18세)

물리학II 전기장과 가우스 법칙

Electric Field and Gauss's Law

전하를 풍선처럼 닫힌 면으로 감싸면, 그 면을 뚫고 나가는 전기력선의 수는 풍선의 크기나 모양을 바꿔도 그대로예요. 가우스 법칙을 식으로 쓰면, 닫힌 면을 지나는 전기 선속은 면 안의 전하를 ε₀ 로 나눈 값과 같아요. 전하가 공 모양으로 고르게 퍼져 있는 경우처럼 대칭이 좋으면, 이 법칙으로 전기장을 간단히 구할 수 있어요. 그림에서 전하 Q 를 바꾸면 전기력선 수와 선속이 Q 에 비례해 바뀌고, 크기가 다른 두 가우스 면을 지나는 선의 수는 언제나 같아요.

가우스 법칙의 직관

🎈 풍선으로 생각하기
①전하를 풍선으로 감싸면, 풍선을 뚫고 나가는 전기력선의 수는 정해져 있다
②풍선을 크게 불거나 찌그러뜨려도 전하에서 나온 선은 모두 풍선을 한 번씩 지나므로 총 선속은 그대로다
③그래서 닫힌 면의 전기 선속은 면 안의 전하만으로 정해지고, 그 값이 Q/ε₀ 다

가우스 면과 전기 선속

4 μC
💡 그림 읽기
①전하가 클수록 전기력선이 많아져 면을 지나는 선속이 커진다
②양전하면 선이 바깥으로 나가고, 음전하면 바깥에서 안으로 들어온다
③S₁ 과 S₂ 는 크기가 다르지만 모든 선이 두 면을 한 번씩 지나므로 두 면의 선속은 같다
④면 밖에 있는 전하에서 나온 선은 면으로 들어왔다가 다시 나가므로 총 선속에 보태지지 않는다

가우스 법칙의 식

가우스 법칙
∮ E · dA = Qε₀
닫힌 면을 지나는 전기 선속 = 면 안의 전하 ÷ 진공의 유전율
구 대칭에 적용하기
E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQr²
점전하를 감싼 구면에서는 E 가 면 어디서나 같으므로, 가우스 법칙에서 쿨롱 법칙이 바로 나온다
🔑 가우스 법칙이 쓸모 있는 곳
①대칭이 좋은 전하 분포는 가우스 법칙으로 전기장을 간단히 구할 수 있다
②구 대칭: 점전하, 고르게 대전된 구
③원통 대칭: 무한히 긴 직선 전하로, 전기장은 E = λ/(2πε₀r) 다
④도체 안에서는 E = 0 이고, 남는 전하는 모두 표면에 모인다

예제로 익히기

예제 1
닫힌 가우스 면 내부에 +2Q와 −Q의 전하가 들어 있을 때, 이 면을 통과하는 총 전기선속은?
1
총 선속은 면 안의 알짜 전하에만 달려 있다.
Φ = Qencε₀
2
면 안의 알짜 전하 Qenc = 2Q − Q = Q 를 넣는다.
Φ = 2Q − Qε₀ = Qε₀
▸ Q/ε₀
부호가 다른 전하는 더하면 서로 상쇄된다. +2Q 에서 나온 선 가운데 일부는 −Q 로 들어가므로, 면을 빠져나가는 선은 Q 만큼이다.
예제 2
점전하 Q를 감싼 구형 가우스 면의 반지름을 2배로 키우면 면을 통과하는 총 전기선속은 어떻게 변하는가?
1
가우스 법칙은 면의 모양이나 크기와 상관없이 면 안의 전하만 본다.
Φ = Qε₀ (r 무관)
2
면 안의 전하 Q 가 그대로이므로 선속도 그대로다.
Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)
▸ 변하지 않는다
그림의 S₁ 과 S₂ 처럼 면이 커져도 지나는 선의 수는 같다. 다만 면 위의 전기장 E 는 r² 에 반비례해 작아지므로, 선속과 전기장을 섞지 않아야 한다.

정리

가우스 법칙
∮ E · dA = Qenc / ε₀
ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)
수능 유형 변형
진공 중 점전하 Q로부터 거리 r에서의 전기장이 E일 때, 거리 2r에서의 전기장은?
①2E
②E2
③E4
④4E
⑤E
▸ ③ E4
1
구 대칭에 가우스 법칙을 쓰면 E = kQ/r² 이라, 전기장은 거리의 제곱에 반비례한다.
E = kQr2
2
r 이 2 배가 되면 r² 은 4 배이므로 E 는 1/4 배가 된다.
E(2r) = kQ(2r)2 = E4
🎯 시험 포인트
①가우스 법칙 ∮E·dA = Q/ε₀ 는 닫힌 면을 지나는 총 선속에 대한 식이다
②가우스 면은 대칭을 살려 E 가 일정한 면으로 고른다
③구 대칭이면 구형 가우스 면을 잡아 E = kQ/r² 을 얻는다
④도체 안의 전기장은 0 이고, 전하는 표면에만 있다
⑤정전기에서 가우스 법칙과 쿨롱 법칙은 같은 내용을 담고 있다
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